Corps fini, racine de polynôme

invitec1dae955 · 05/08/2012, 19h27

Bonjour à vous,
J'ai un peu de mal à démontrer cela.
On a $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ . On note $\text{[math]}$ la classe de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .
Alors, on montre facilement que $\text{[math]}$ est irréductible, donc que $\text{[math]}$ est un corps, de caractéristique $\text{[math]}$ , de cardinal $\text{[math]}$ .

On a montré que $\text{[math]}$ était d'ordre $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , et que les éléments $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ sont les classes de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Je suis censé déduire de cette dernière assertion que si un polynôme $\text{[math]}$ admet une racine $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ est aussi racine de $\text{[math]}$ .

Avez-vous des idées?
Merci bien.

invite7512668d · 05/08/2012, 20h48

Je ne suis pas sur de saisir l'intérêt de l'indication.

De façon, générale si $\text{[math]}$ est de caractéristique $\text{[math]}$ , l'application $\text{[math]}$ est un morphisme de $\text{[math]}$ -algèbres simplement à cause de la formule du binome et du fait que $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ .

Donc si $\text{[math]}$ , pour tout $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ . Le résultat s'en déduit.

invitec1dae955 · 06/08/2012, 02h34

Effectivement, en utilisant le morphisme de Frobenius, je ne vois plus l'intérêt de la déduction à faire.
Je vais continuer à chercher, merci pour l'astuce.

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