Cardinal d'un corps fini en fonction d'un sous-corps

**Seirios** · 26/03/2010, 21h30

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir pourquoi, si l'on considère deux corps $\text{[math]}$ finis, on peut écrire $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ , sachant que l'on peut voir $\text{[math]}$ comme un $\text{[math]}$ -espace vectoriel.

Quelqu'un pourrait-il me mettre sur la voie ?

Merci d'avance,
Phys2

**God's Breath** · 26/03/2010, 22h28

Bonjour,

Si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ est un $\text{[math]}$ -espace vectoriel, de dimension finie $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont isomorphes par choix d'une base de $\text{[math]}$ .

**Seirios** · 28/03/2010, 12h12

Donc $\text{[math]}$ peut être considéré comme un $\text{[math]}$ -espace vectoriel de dimension 1, d'où $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ isomorphes. Ainsi, $\text{[math]}$ étant fini par hypothèse, $\text{[math]}$ .

Merci

**g_h** · 28/03/2010, 14h08

Salut,

Je ne vois pas pourquoi tu utilises cet argument de dimension 1, ça ne me paraît pas très correct (c'est une tautologie et ça n'aide pas la démonstration, il me semble). De plus, pour écrire
$\text{[math]}$ , tu as déjà besoin du fait que $\text{[math]}$ est fini (pour dire que la base choisie est finie, sinon, ce "n" n'existerait pas)

$\text{[math]}$ est un ev sur $\text{[math]}$ , c'est tout. Tu as donc l'isomorphisme canonique qui a chaque élément du corps $\text{[math]}$ associe sa décomposition sur la base choisie. $\text{[math]}$ est fini, donc cette base est finie de cardinal "n".
Donc les éléments de $\text{[math]}$ sont en bijection avec les n-uplets de $\text{[math]}$
Tu tiens donc ton isomorphisme entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , d'ou l'égalité entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

(ou alors, je n'ai pas compris ce que tu essayais de dire

)

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**Seirios** · 28/03/2010, 14h32

Par hypothèse, $\text{[math]}$ est fini, et on a posé n sa dimension en tant que $\text{[math]}$ -espace vectoriel ; comme $\text{[math]}$ est un $\text{[math]}$ -espace vectoriel de dimension 1, on a $\text{[math]}$ , et on en déduit que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont isomorphes, puisque de même dimension.

Je ne vois pas où il y pourrait y avoir un problème...

**g_h** · 28/03/2010, 14h43

Envoyé par Phys2

Par hypothèse, $\text{[math]}$ est fini, et on a posé n sa dimension en tant que $\text{[math]}$ -espace vectoriel ; comme $\text{[math]}$ est un $\text{[math]}$ -espace vectoriel de dimension 1, on a $\text{[math]}$ , et on en déduit que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont isomorphes, puisque de même dimension.

Je ne vois pas où il y pourrait y avoir un problème...

Ok, c'est bien moi qui ait mal compris ce que tu disais, désolé

En fait, en cherchant la petite bête ton argument n'était pas - précisément - celui de God's Breath, même si ça revient au même, et je ne voyais pas trop pourquoi tu disais "donc " au début de ton message. Bref, ça marche parfaitement

**Seirios** · 28/03/2010, 15h35

Je suis rassuré, j'ai eu un doute pendant un moment

Cardinal d'un corps fini en fonction d'un sous-corps

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