bonjours à tous,
voila j'ai un exercice qui me pose quelques problèmes:
soit F un corps fini de caractéristique p.
Montrer que chaque élément de F est une puissance p^n ième quelque soit n.
Que se passe t-il si F n'est plus supposé fini?
je n'arrive pas à le débuter!Pourriez-vous m'aider...
Sur un corps infini c'est faux, par exemple X n'est pas une puissance p-ième dans Z/pZ(X)
C'est une application directe des propriétés du morphisme de Frobenius : Frob(x)=xp.
Frob est un endomorphisme d'anneau car la caractéristique est égale à p (doit théorème du cours soit lemme à montrer) donc injectif sur un corps. Si ce corps est en plus fini alors c'est une bijection et aussi une surjection.
On finit par une récurrence ou en considérant la n-ème composée de ce morphisme.
