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Espace projectif sur corps fini



  1. #1
    humanino

    Espace projectif sur corps fini


    ------

    Je suis en train de lire le bouquin de Penrose "The road to reality". Je ne suis qu'un pauvre etudiant en physique et ce livre passionant propose tout au long du parcours des petits exercices, dont les difficultes sont diverses. Jusqu'a present, j'ai reussi, ou je savais deja, comment les faire. Or la semaine derniere, je suis arrive en face d'un exercice de niveau intermediaire (ils sont labeles) et je n'ai pas reussi tout de suite. Comme le livre est passionnant, apres une heure j'ai continue ma lecture. Depuis, je n'y ai pas passe beaucoup de temps (parce que je n'en ai pas beaucoup ! je suis en these...) et je ne pas sur d'avoir reussi

    Voici le probleme : on connait bien les corps finis : ce sont les entiers modulo q premier (ou q puissance d'un premier, mais je ne suis pas tres connaisseur de ce dernier cas !). On est familier avec les espaces projectifs de dimension n, construits a partir d'espace de dimension n+1. Grace au bouquin de Penrose, j'ai decouvertes quelques autres facon de construire des espace projectifs, mais bref : quel est le nombre de points dans .

    Je connais la reponse : ,

    Je me suis donc dit que recurrer, ca marche souvent
    Evidemment #=1

    Ensuite, j'ai pris les classes de points suivantes dans (ce sont donc des points dans :





    Or toutes ces formes de classes appartiennent a sauf la premiere. Donc il ne me reste qu'a calculer le nombre de classes de la premiere forme.

    Dans , chaque peut prendre n'importe lauqlle des valeurs, donc elles sont au nombre de (c'est la que je ne suis pas tres sur de moi) ce qui finalement me donne bien :
    # #

    Toute aide, tout conseil est le bienvenu !

    -----
    "Puisque toute ces choses nous depassent, feignons de les avoir organisees"

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  4. #2
    GuYem

    Re : Espace projectif sur corps fini

    J'ai peur que tu sois allé chercher un peu loin...
    (pas latex pour moi désolé, vais essayer d'être clair)

    Le cardinal de (F_q)^(n+1) c'est q^(n+1), donc celui de (F_q)^(n+1)\{0} c'est q^(n+1) - 1.

    Pour construire l'espace projectif, tu mets dans un même paquet (une classe d'équivalence) tous les éléments de (F_q)^(n+1)\{0} qui sont les mêmes à un multiple prés. Or combien y-a-t-il de multiples d'un même élément? Puisque le corps de base c'est F_q, il y en a q - 1, car tu ne comptes pas le multiple 0 puisqu'il n'est pas dans (F_q)^(n+1)\{0}.
    Du coup combien il te reste de paquets??
    Facile tu as q^(n+1) - 1 éléments et tu fais des paquets de q - 1 éléments, donc tu as (q^(n+1) - 1) / (q-1) paquets. Et ô magie ca fait 1 + q + ... + q^n.

    J'espère avoir été clair avec mes paquets, j'avais pas envie de parler de relation et classes d'équivalences.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  5. #3
    humanino

    Re : Espace projectif sur corps fini

    oui, effectivement, c'est beaucoup plus court comme cela !

    Merci !
    "Puisque toute ces choses nous depassent, feignons de les avoir organisees"

  6. #4
    humanino

    Re : Espace projectif sur corps fini

    Citation Envoyé par humanino
    oui, effectivement, c'est beaucoup plus court comme cela !

    Merci !
    cela dit, j'ai l'impression que ma demo n'etait pas fausse Ca m'a rafraichi les neurones cette histoire
    "Puisque toute ces choses nous depassent, feignons de les avoir organisees"

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    GuYem

    Re : Espace projectif sur corps fini

    Citation Envoyé par humanino
    cela dit, j'ai l'impression que ma demo n'etait pas fausse Ca m'a rafraichi les neurones cette histoire
    J'ai pas lu ta démo
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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