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Espace vectoriel E sur un corps K...



  1. #1
    Mangaf

    Espace vectoriel E sur un corps K...


    ------

    Salut.
    Quelle est la relation entre l'ensemble espace vectoriel E l'ensemble constituant le corps K?
    E serait-il inclus dans K, ou bien ils sont juste liés par
    la loi de composition externe de E sur K (c'est bien ça?) ?

    Désolé si j'ai pas été clair, mais j'ai fais de mon mieux.

    Merci

    -----

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  3. #2
    GaryO

    Re : Espace vectoriel E sur un corps K...

    De manière générale, ils ne sont reliés que par la loi de composition externe qui va de KxE dans E. Tu peux avoir K inclus dans E (par exemple R est un espace vectoriel sur le corps R, dans ce cas R=E), mais le plus souvent tu n'as aucune inclusion de ce type, simplement aprce que E et K ne contiennent pas les même types d'objets. Par exemple, R^2 est un espace vectoriel sur le corps R, mais tu n'as pas d'inclusion du corps dans l'espace vectoriel, puisque le corps (R) est constitué de réels, et l'espace vectoriel (R^2) de couples de réels.

  4. #3
    Flyingsquirrel

    Re : Espace vectoriel E sur un corps K...

    Salut,

    Comme tu le dis ils sont juste reliés par la loi de composition externe, E n'est pas inclus dans K (heureusement d'ailleurs parce que comme K c'est quasiment toujours ou , on serait limité à des EV pas super intéressants) Ceci dit E peut être inclus dans K (K est un K-EV...) mais ça reste un cas particulier.

  5. #4
    Mangaf

    Re : Espace vectoriel E sur un corps K...

    Ah ok, j'avais vu juste alors...
    Merci beaucoup, mais il se pourrait bien que j'aie de nouvelles questions d'ici là... Donc à bientôt

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    easythomas

    Re : Espace vectoriel E sur un corps K...

    Le plus souvent on peut interpréter la multiplication externe comme la multiplication dnas un anneau.
    Ex : R dans R[X] est assimilé aux polynomes constant, ms attention ce sont deux objets de nature différente (un polynome cosntant et un réel). Et quand tu multiplie P par lambda, tu fias en fait une multiplication de deux polynomes.

    De même, dans R^n, on peut assimiler la multiplation par lambda par une multiplication par (lambda,...,lambda) dnas l'espace produit (multiplication terme à terme donc...). (qu'un expert me corrige si j'ai faux).

  8. #6
    Mangaf

    Re : Espace vectoriel E sur un corps K...

    Salut^^

    Cette fois c'est pour parler de la Base d'un E.V (Espace Vectoriel).
    Une famille de vecteur de E génératrice et libre, forme une base de E (c'est la loi^^).

    Et une propriété de la base affirme qu'il faut et il suffit que tout vecteur V de l'E.V E soit une combinaison linéaire de (par exemple) (V1,V2,...,Vn) pour que {V1,V2,...,Vn} soit une base de E.
    Donc il suffit que tout vecteur V de E s'écrive de manière unique (?) sous la forme V= X1V1 + X2V2 +...+ XnVn, (X1,X2,...,Xn) étant des scalaires.

    Mais celà ne revient-il pas à dire qu'il suffit que {V1,V2,...,Vn} soit une famille génératrice de E pour être une base de E?
    à moins que ce soit le mot ''unique'' de la propriété ci dessus qui m'échappe...

    Désolé une fois de plus si je n'ai pas été assez clair.

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  10. #7
    indian58

    Re : Espace vectoriel E sur un corps K...

    Citation Envoyé par GaryO Voir le message
    De manière générale, ils ne sont reliés que par la loi de composition externe qui va de KxE dans E. Tu peux avoir K inclus dans E (par exemple R est un espace vectoriel sur le corps R, dans ce cas R=E), mais le plus souvent tu n'as aucune inclusion de ce type, simplement aprce que E et K ne contiennent pas les même types d'objets. Par exemple, R^2 est un espace vectoriel sur le corps R, mais tu n'as pas d'inclusion du corps dans l'espace vectoriel, puisque le corps (R) est constitué de réels, et l'espace vectoriel (R^2) de couples de réels.
    On peut peut-être rajouter que dans le cas d'un espace dimension finie E est isomorphe (en tant qu'espace vectoriel) à Kd.

  11. #8
    Mangaf

    Re : Espace vectoriel E sur un corps K...

    euh, j'ai un autre problème, j'arrive pas à voir la différence entre la dimension et le rang...
    La dimension d'un e.v E c'est le nombre de vecteur que comprend toute base de E.
    Mais c'est aussi le nombre de vecteur qui forment une famille libre de E, autrement dit, le nombre de vecteur linéairement indépendants qu'on peut trouver dans E.
    Normal vu que les vecteurs formant une base sont forcemment linéairement indépendants.

    Par ailleurs, une des définitions du rang:
    On appelle rang d'un système de p vecteurs, le nombre maximum r de vecteurs linéairement indépendants qu'on peut extraire de ce système.

    Est-ce à dire que pour une base, la dimension est égale au rang?

    d'ailleurs la dimension ne concerne que la base non?

    Merci

  12. #9
    indian58

    Re : Espace vectoriel E sur un corps K...

    Oui, pour une base de n vecteurs, n est aussi le rang de ces n vecteurs.

  13. #10
    Mangaf

    Re : Espace vectoriel E sur un corps K...

    Merci je comprend de mieux en mieux^^

  14. #11
    Mangaf

    Re : Espace vectoriel E sur un corps K...

    Salut, y'a du nouveau.
    Bon, notre prof nous demande de démontrer la propriété suivante de la base:

    Pour qu'un système de n vecteurs V1,V2,V3,...,Vn, d'un e.v E soit une base,
    il faut et il suffit que tout vecteur V de E s'écrive de manière unique sous la forme
    V=X1V1+X2V2+...+XnVn, X1,X2,...Xn étant des scalaires.

    J'ai compris par là qu'une famille génératrice suffisait à former une base.
    Ce qui pourrait dire qu'une famille génératrice est forcement une famille libre...est-ce celà?

  15. #12
    indian58

    Re : Espace vectoriel E sur un corps K...

    Non, les vecteurs qui forment ta base sont INDEPENDANTS. une famille génératrice n'est pas forcément libre.

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  17. #13
    Mangaf

    Re : Espace vectoriel E sur un corps K...

    Mais n'est-ce pas que par définiton, c'est une famille de vecteurs gératrice et libre qui forme une base?
    Ce qui veut dire que les vecteurs de la base sont effectivement indépendants.
    Donc où se trouve l'intéret de la propriété? je pense que c'est la propriété elle même que je n'est pas compris...

  18. #14
    Médiat

    Re : Espace vectoriel E sur un corps K...

    Citation Envoyé par Mangaf Voir le message
    J'ai compris par là qu'une famille génératrice suffisait à former une base.
    Ce qui pourrait dire qu'une famille génératrice est forcement une famille libre...est-ce celà?
    Pour confirmer ce que te dis indian58 : tu oublies le mot unique de l'énoncé.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  19. #15
    Mangaf

    Re : Espace vectoriel E sur un corps K...

    hum, je me disais bien que ce mot faisait la différence...
    bon, je dois aller en cours, mais je vais étudier le cas plus munitieusement.
    Je repasserai donc plus tard. Merci

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