explications sur espace vectoriel

[invite56f88dc9]

Bonjour.
J'ai n'ai pas compris un exercice de base tout simple sur les sous-espaces vectoriels. Je connais parfaitement la définition et la caractérisation mais je ne comprends pas la correction de l'exo suivant. Sans doute quelque chose m'échappe. Pouvez vous m'expliquer.


Les sous ensembles suivants de R³ sont-ils des sous-espaces vectoriels de R³ ?
a) E1={(x,x,0)/x€ R} c vrai (j'ai compris car on a pour (l = lambda avec l€ R pour tout (X(x,x,0) Y (y,y,0),0) € E1

b) E2={(x,y,3)/x,y€R) c faux (là je n'ai pas compris) .
On a (lx+x',ly+y',3l+3) n'appartient pas à E2 ??? lx+x'€ R ainsi que ly+y' et je pense aussi 3l+3) Alors pkoi c faux ?

c) E3={(x,y,x+y)/x,y€R} Vrai (là j'ai capté)
Mais je ne comprends pas pourquoi c faux quand on prend x,y € Z ou Q

h) E8={(x²,x,0)/x€R} faux (j'ai pas capté)
j) E10={(x,x+1,x+2)/x€R} Faux (j'ai pas capté).

Merci de bien m'expliquer.

Merci de m'expliquer.
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[invite4793db90]

Salut,

pour le b) et le j) : E3 est-il stable par homotétie ?

pour le h) : a-t-on la linéarité ?

Cordialement.

[g_h]

Pour le b, est-ce que 3l + 3 vaut toujours 3, pour tout l ?
La réponse est non, donc tu es sorti de ton espace !

Un autre raisonnement (c'est fondamentalement la même chose en fait), consiste à dire que puisque (0, 0, 0) n'appartient pas à ton espace, ce n'est pas un espace vectoriel.
(ne pas oublier qu'un espace vectoriel est avant tout un groupe abélien, qui possède un neutre pour sa loi de composition interne)

[invite7553e94d]

Pour E2 (resp. E10), il suffit de démontrer que n'appartient pas à E2 (resp. E10).

Pour E3,
soit a = (1, 1, 0) = (1², 1, 0) = (x², x, 0), x=1, a appartient donc à E3;
soit b = (4, 2, 0) = (x², x, 0), x=2, b appartient donc à E3.

Maintenant, a+b = (5, 3, 0) n'appartient pas à E3. Or, par définition, un ev est stable par addition. E3 n'est donc pas un espace vectoriel.

Edit : martini_bird & g_h sont les plus rapides

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je te rappelle les propriétés que doivent satisfaire les sous espaces vectoriels.
Si E est un espace vectoriel (dans ton cas, ce sera R³), alors une partie A de E est un sous espace vectoriel si :
1/ A est stable par multiplication : Pour tout scalaire a de R, pour tout élément x de A, a.x est dans A.
2/ A est stable par addition : Pour tout couple d'éléments x,y de A, x+y est dans A.

Voyons maintenant ces exemples :

b) E2={(x,y,3)/x,y€R)
Si v est un vecteur de E2, il s'écrit v=(x,y,3). Alors la propriété 1 est violé. En effet, -1.v =(-x,-y,-3) n'appartient pas E2, puisque sa troisième composante n'est pas 3.

h) E8={(x²,x,0)/x€R} Si v est un vecteur de E8, il s'écrit (x²,x,0). Donc 2v = (2x²,2x,0). 2v est dans E8 ssi on peut trouver y tel que 2v = (y²,y,0), c'est-à-dire ssi (2x)^2 = 2x², ce qui est toujours faux dès que x est non nul. La propriété 1 est donc encore violé.

j) E10={(x,x+1,x+2)/x€R}
Ici encore on pourrait montrer que la propriété 1 n'est pas satisfaite. Pour changer, je vais faire la propriété 2.
Si v_1 et v_2 sont dans E10, on peut trouver x et y tels que v_1 =(x,x+1,x+2), et v_2 = (y,y+1,y+2). Alors le vecteur w = v_1+v_2 = (x+y, x+y+2,x+y+4) ne peut pas se mettre sous la forme (z,z+1,z+2) car en regardant coordonnées par coordonée, on obtiendrait :
z = x+y
z+1 = x+y +2
z+2 = x+y+4

Bon, grosso modo, ce qu'il faut retenir, c'est que dès que tu as des constantes ou des nonlinéarités, ça ne va pas être un sous espace vectoriel.

En espérant t'avoir éclairé.
__
rvz

[Edit : Gasp, je n'ai été que quatrième ! Ca m'apprendra à faire des réponses détaillées ]

[invite56f88dc9]

petite info , on a pas encore vu la stabilité et aussi la stabilité par homothétie.
On a vu les applications linéaires.
Je vais essayer de comprendre et je vous tiens au courant.
En tous cas merci pour les réponses.

[invite7553e94d]

double post, sry.

[invite7553e94d]

[Edit : Gasp, je n'ai été que quatrième ! Ca m'apprendra à faire des réponses détaillées ]

Amusant, 4 réponses de plus en plus détaillées (2~3). Que va donner la 8ème ?

petite info , on a pas encore vu la stabilité et aussi la stabilité par homothétie.
On a vu les applications linéaires.
Je vais essayer de comprendre et je vous tiens au courant.
En tous cas merci pour les réponses.

Peux-tu nous citer la définition d'un espace vectoriel tel qu'elle est dans ton cours ? Je pense que vous avez vu la stabilité par homotétie et par addition, sans les nommer.

[invite56f88dc9]

Déf:
E'inclus dans E, E' non vide
E' ss-espace vectoriel de E équivaut à (E',+,.) ev sur F.

Caractérisations :
pour tout x, y de E' (je ne sais pas comment on fait pour mettre les vecteurs)), pour tout l€K
x+y€ E'
x-y€E'
l.x+y€ E'
l.x€E'