[topologie] Espaces connexes

[invite07d9152e]

Bonjour, un ptit nouveau en période de révisions qui a besoin d'aide

J'ai du mal avec cette notion (vue dans une démonstration) :

Si un espace F n'est pas connexe, il existe une partie ouverte et fermée U de F non vide et distincte de F.

1) Je n'arrive pas à voir comment une partie peut être à la fois ouverte et fermée!? C'est embêtant car cette notion d'ouvert fermé intervient souvent dans le reste du chapitre

2) Comment une partie de F peut lui être distincte ??

Et il y aussi ce théorème :

Si l'espace E contient une partie connexe partout dense, E est connexe.

dem : Supposons que X soit une partie connexe partout dense de E et que E ne soit pas connexe. Il existerait alors un ouvert non vide U de E tel que E\U soit ouvert et non vide. Ceci entrainerait que U et E\U rencontrent X, donc que U' = (X inter U) et X\U' = (X inter E\U) sont deux ouverts disjoints non vides de X qui recouvrent X, c'est à dire que U' est un ouvert fermé de X qui n'est ni {ensemble vide} ni X. Et ceci contredit la connexité de X

3) (hors-sujet) : ça veut dire quoi intuitivement/géométriquement/concrètement.. PARTOUT DENSE ? A part la densité de Q dans R, je n'arrive pas à me représenter cette notion

4) Si E n'est pas connexe, pourquoi le complémentaire de l'ouvert U est aussi ouvert ? Alors que par définition le complémentaire d'un ouvert est fermé

5) Si U' et X\U' recouvrent X, pourquoi U' est un ouvert fermé ?

Depuis que j'ai attaqué ce chapitre j'ai l'impression d'être devenu con alors que le reste ça allait
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[doryphore]

1/ Les qualificatifs ouverts et fermés ne sont pas antagonistes en mathématique de part leur définition.
Une fois défini les ouverts, on dit qu'un ensemble dont le complémentaire est un ouvert s'appelle un fermé, l'un n'exclut pas l'autre.

Deux ouverts peuvent être complémentaire l'un de l'autre et dans ce cas, les deux ensembles sont à la fois ouverts et fermés.

Ex: Soit U=]0;1[U]2;3[
]0;1[ est un ouvert pour la métrique iduite à U issue de la métrique usuelle sur R.
]2;3[ l'est également et comme ]2;3[ est le complémentaire dans U de ]0;1[, c'est un fermé....

[doryphore]

2/ Une partie de F est distincte de F, si elle n'est pas F.

Ex: [0;1] est distincte de R.

Tu confonds surement distincte et disjointe...

[doryphore]

3/ Un ensemble P est dense dans S si quand tu prends n'importe quel point de S et une boule centrée en ce point aussi petite que tu veux, il y aura forcemment un point de P dans ta boule...

En gros, il y a des point de P plein partout dans S

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

Salut on va essayer de répondre dans l'ordre à ce qu'on peut :

1) La topo c'est pas comme les portes ! Si tu n'es pas ouvert tu n'es pas necessairement fermé. Une partie peut-être à la fois ouverte et fermé. Exemple trés bète : R muni de la topo usuelle, R est à la fois ouvert et fermé.

2) Une partie de F c'est un sous ensemble de F, elle peut très bien ne pas être égale à F.

3) Partout dense ça veut dire dense, même chose que la densité de Q dans R.

4) Si E n'est pas connexe alors il y a un ouvert et fermé U non vide et distincte de E. Puisque U est (entre autre) fermé alors son complémentaire est ouvert.

5) U' est ouvert et fermé car c'est la trace sur X d'un ouvert fermé.


Je conclus un insistant sur le point suivant, déjà dit plus haut : la topo c'est pas comme les portes ! On peut être ouvert et fermé à la fois.
Etre ouvert ç'est une définition, être ouvert ça veut dire que son complémentaire est ouvert. Si U est à la fois ouverte et fermée, alors son complémentaire est à la fois fermé et ouvert.

En espérant t'avoir aidé.

[doryphore]

4/ Voir exemple du n°1, U est non connexe. Remarque tu aurais pu fermé les deux intervalles ça ne change rien...car les boules de U ne peuvent pas déborder de U donc on peut toujours trouver une boule assez petite pour rester dans un des deux intervalles...

[doryphore]

Depuis que j'ai attaqué ce chapitre j'ai l'impression d'être devenu con alors que le reste ça allait

Il n'y a pas lieu de s'affoler, les enseignants gèrent toujours plus ou moins bien les différents chapitres du programme et quand il s'agit d'une théorie tout à fait nouvelle pour toi comme la topologie, ça peut donner l'impression qu'on n'y comprend rien... Il faut donc bien retravailler chacun des points du cours et poser des questions pertinentes à l'enseignant sur les points qui te posent le plus de problèmes...

[invite07d9152e]

Merci !!!

C'est maintenant beaucoup plus clair!

En effet pour le 2) j'avais "lu" disjointe au lieu de distincte (la fatigue sans doute..)

Je reviens juste sur l'ouvert fermé pour que ce soit bien clair , pour démontrer que telle partie d'un ensemble est ouverte fermée, il faut montrer qu'elle est ouverte (resp. fermée) et qu'elle est le complémentaire d'un ouvert (resp. fermé) ? Il y a pas d'autres méthodes faisant intervenir un mix d'autres démonstrations d'ouvert/fermé (avec l'adhérence, les suites etc..) ? Question peut-être un peu conne mais on sait jamais, je prends tous les bons tuyaux pour pouvoir cartonner en topo

[matthias]

Si il y a beaucoup d'autres méthodes bien sûr, il faut voir au cas par cas. Tu peux faire intervenir des suites, des images réciproques par des applications continues, etc.

[invitef55e92ca]

Bonjour,

ma question concerne la definition d'un espace connexe (en terme de topologie) :
D'apres la definition donnee par Wikipedia (si j'ai bien compris),

un espace E est connexe si E n'est pas la reunion de deux ouverts non vides disjoints.

Si on prend la negation de cette definition on a (si je ne me suis pas trompee) :

E n'est pas connexe si E est la reunion de deux ouverts non vides disjoints.

Mais ce qui me pose probleme, c'est "reunion de deux ouverts", s'il y en a plus que deux, c'est valable aussi, non ?
C'est une question un peu "simplette" mais j'ai un peu de mal...
En tout cas merci a ceux qui y repondront

[GuYem]

Bonjour,

si tu arrives à écrire E comme la réunion de trois ouverts (ou plus) non vides et disjoints, alors tu as montré que E n'est pas connexe.

[doryphore]

Si tu peux écrire un ensemble comme la réunion de plusieurs ouverts disjoints, tu peux aussi l'écrire comme la réunion de deux ouverts disjoints car par chance, une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert.

[inviteb47fe896]

On peut dire aussi qu'un ensemble est connexe,ssi, pour deux éléments quelconques de cet ensemble il existe toujours une suite d'ouverts, non disjoints deux à deux, qui contient ces deux points.

[invite986312212]

il doit falloir une condition supplémentaire, parce que l'espace entier est ouvert et contient tous ses points.

[edpiste]

On peut dire aussi qu'un ensemble est connexe,ssi, pour deux éléments quelconques de cet ensemble il existe toujours une suite d'ouverts, non disjoints deux à deux, qui contient ces deux points.

J'ai pas compris. Chaque ouvert contient un point ?
Pouvez-vous clarifier + exemple d'application.

[inviteb47fe896]

C'est la suite des ouverts qui contient ces deux points ; ce qui revient à dire que dans cette suite un des ouverts au moins contient le premier point et un autre (pourquoi pas le même) le deuxième point ; Ceci doit être vrai pour toutes les paires de points de l'ensemble.

[inviteb47fe896]

il doit falloir une condition supplémentaire, parce que l'espace entier est ouvert et contient tous ses points.

L'espace tout entier est à la fois ouvert et fermé. C'est aussi le cas du vide.

[edpiste]

C'est la suite des ouverts qui contient ces deux points ; ce qui revient à dire que dans cette suite un des ouverts au moins contient le premier point et un autre (pourquoi pas le même) le deuxième point ; Ceci doit être vrai pour toutes les paires de points de l'ensemble.

Ca reste toujours obscur pour moi. Un exemple ?

[GuYem]

On peut dire aussi qu'un ensemble est connexe,ssi, pour deux éléments quelconques de cet ensemble il existe toujours une suite d'ouverts, non disjoints deux à deux, qui contient ces deux points.

edpiste, tu as zappé cette partie de la définition de eirtemoeg.

[GuYem]

Ca reste toujours obscur pour moi. Un exemple ?

Oubliez le message précédent, j'ai du halluciner ...

Pour clarifier la définition de Eirte, je pense qu'il veut dire la chose suivante : E est connexe ssi pour tout x et y dans E, on peut trouver une suite d'ouvert deux à deux distincts, deux à deux non disjoints, avec N>=2 (pour éviter les problèmes que soulevait ambrosio) tels que et .

[edpiste]

La ça me parle plus. Et la suite peut être finie ou infinie, je présume.

[invite986312212]

Pour clarifier la définition de Eirte, je pense qu'il veut dire la chose suivante : E est connexe ssi pour tout x et y dans E, on peut trouver une suite d'ouvert deux à deux distincts, deux à deux non disjoints, avec N>=2 (pour éviter les problèmes que soulevait ambrosio) tels que et .

ça ne marche pas non plus. Je crois que Eirtemoeg cherche à définir une convexité par arcs mais sans arcs.
Ca marcherait avec une chaîne d'ouverts connexes, mais comme on veut définir la connexité...

[GuYem]

Tu as raison ambrosio, ça se mord la queue !

Disons que j'ai un espace métrique et que je remplace mes ouverts par des boules ... on se rapproche de la notion de bien enchainé.

[invite986312212]

Tu as raison ambrosio, ça se mord la queue !

Disons que j'ai un espace métrique et que je remplace mes ouverts par des boules ... on se rapproche de la notion de bien enchainé.

oui mais des boules connexes. Prends comme espace [0,1/2[U]1/2,1], comme points 0 et 1 et comme boules B(0,2/3) et B(1,2/3). C'est des boules à trou(= de bowling) mais c'est bien des boules

[inviteb47fe896]

Effectivement, ça se mord la queue : c'est d'une suite de parties connexes qu'il faut parler et non de simples ouverts. Ah mémoire quand tu nous quittes !

[invitef55e92ca]

Bonjour,

En resolvant un exercice, j'utilise une affirmation qui me parait vraie (en me basant sur un "dessin", ca me parait evident) :

si A et B sont deux parties connexes telles que est non vide, alors est connexe

J'aimerais savoir si je peut utiliser cette affirmation pour la suite de mon exercice, a moins qu'elle soit completement fausse (ce qui m'etonnerait...)

Merci.

[invite35452583]

Bonjour suzanna (et aux autres),
oui ton énoncé est un théorème.
La méthode la plus rapide pour la montrer est celle-ci (elle suppose connue la caractérisation des connexes par leur application dans les discrets) :
Soit f une application continue de AUB dans {0,1}.
Sa restriction à A est continue avec A connexe donc f est constante. Il en est de même de la restriction de f à B.
f(A)=y1 f(B)=y2 or il existe x appartentnant à A et B d'où y1=f(x)=y2 i.e. f est constante sur AUB.
Toute application continue de AUB dans {0,1} étant constante AUB est connexe.