Espaces affines

[invite94546c6c]

Ah c'est encore moi , j'ai un problème que je dois résoudre incessamment :

On a un repère cartésien (O;e1,e2...en) et une droite vectorielle D dont une base est u = e1+e2+...+en

On a la droite affine qui lui correspond et à l'espace affine défini par le repère cartésien en question on note V l'espace vectoriel associé.

On a le plan affine dont les points M sont tels que OM = x1.e1+x2.e2+...+xn.en avec x1+x2+...+xn = 1 (hyperplan). On note P le plan vectoriel associé à cet hyperplan affine.

Il faut montrer que V = D "+" P où "+" est la somme directe !


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[invite94546c6c]

Alors ? Personne n'a une petite idée ?

[shokin]

Désolé, mais je ne connais pas du tout ce domaine. Mais alors vraiment pas du tout.

Shokin

[invite63ea3fef]

Facile ce truc-bidule machin-chose !

La direction de l'hyperplan affine est l'ensemble des vecteurs u = X1.e1 + X2.e2 + ... + Xn.en tels que X1 + X2 + ... + Xn = 0.

On tire Xn = -X1-X2- ... - Xn-1,

d'où : u = X1(e1-en) + X2(e2-en) + ... + Xn-1(en-1 - en).

On a donc ainsi une base de la direction P de l'hyperplan affine en question.

Après c'est un jeu d'enfant, il suffit de montrer que par exemple :
{e1-en, e2-en, ... , en-1 - en, e1+e2+ ... + en} est une base de l'espace vectoriel V (on prend une combinaison linéaire nulle et on montre que les coèfficients sont tous nuls nécessairement).

[A voir en vidéo sur Futura]