trouver une solution dans un corps fini

[invitef7cb9c5c]

bonjour
dans un corps fini k d'ordre 81, je cherche x tel que x(exp 27)=41
y- a t-il une procèdure pour trouver autrement qu'à taton?
merci
fifrelette
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[God's Breath]

Dans un corps fini d'ordre 81, tout élément satisfait .
D'autre part ce corps fini est de caractéristique 3, donc 41=2.

[invitef7cb9c5c]

merci mais je trouve 2 exposant 27= 46 modulo 81
et je cherche un entier exposant 27= 41 mod 81
fifrelette

[God's Breath]

Si , combien vaut ?
D'autre part, il faut calculer modulo 3, et pas modulo 81 ; dans un corps d'ordre 81, on a :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef7cb9c5c]

pourtant dans l'énoncé il est écrit qu'on est plus dans dans F3[x]
pouvez vous m'expliquez ce que ça veut dire
je calcule tout ça pour factotiser p = x4+X+-1 dans k
merci

[God's Breath]

Tout s'explique : il s'agit du même problème que dans la discussion http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post2770843.

Je comprends, au fil de cette discussion qu'il faut commencer par prouver que , , et sont des élèments deux à deux distincts du corps d'ordre 81, étant une racine du polynôme et non un élément quelconque du corps.

Ce qui permet d'en déduire aisément les 4 racines de en utilisant le morphisme de Frobenius.

D'ailleurs l'indication ne peut se comprendre qu'en caractéristique 3, et pas en caractéristique 81.

Premier rappel : la caractéristique d'un corps est un nombre premier, ce qui n'est pas le cas de 81.
Deuxième rappel : l'ordre d'un corps fini est une puissance de sa caractéristique, ici .
Troisième rappel : est un corps si, et seulement si, l'entier est premier ; est un corps d'ordre 3, mais n'est pas un corps d'ordre 81.

[invitef7cb9c5c]

merci beaucoup d'avoir pris le temps d'éclaircir tout ce qui semble bien flou encore pour moi
étant la succession des question je me doutais que a a3 a9 et a27 devait être les racines de p= x4+x+1= (x-a)(x-a3)(x-a9)(x-a27) si j'ai bien compris mais c'était aussi le résultat que je trouvais à la question qu'elles sont les racines de Q= X4+x3+X2+x+1 dans cas? (on pourra multiplier par (1-X).
j'ai préfère multiplier par question X-1n je trouve (X-1) Q= X5-1
donc Q a pour racine a a3 a9 et a27 n'est-ce pas?
fifrelette

[God's Breath]

Il n'y a pas de rapport entre les racines de et celles de .

[invitef7cb9c5c]

je crois que je commence à comprendre pour le polynome Q les racines sont a16, a32, a48et a64
par contre je ne vois pas encore très bien le lien entre le (p(x))3i= p(x3i) et la factorisation de p= (x-alpha)(X-alpha3)(x-alpha9)(x-alpha27)
merci pour votre patience
fifrelette

[God's Breath]

Si , alors , c'est-à-dire .

[invitef7cb9c5c]

merci
bonne nuit
fifrelette