decomposition d'un polynome dans un corps fini

[invite3f5489ea]

Bonjour,
j'ai plusieurs questions sur la décomposition en polynômes irréductibles de polynômes dans un corps fini Fp.
Par exemple,pour P(X) = X^5 -X +1
on veut montrer que P(X) est irréductible dans F2. Pour cela, on a comme indication:"montrer qu'il n'a pas de racines dans F4"
Déja je ne comprend pas cette indication ?
De plus, P(X) me semble réductible dans F2 puisque dans F2 il vaut X^5 -X +1 = X^5 + X +1 et on voit que X^5 + X +1 = (X^2 + X + 1)(X^3+X^2+1) dans F2.
Merci d'avance de votre aide.
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[leon1789]

Tu as raison pour la factorisation... donc là, il y a erreur d'énoncé. C'est peut-etre P(X) = X^4 -X +1

Pour l'indication, quels sont les degrés des facteurs irréductibles d'une factorisation d'un polynôme P de degré 5 (ou 4) ? Tu vois qu'il y a toujours un irréductible de degré 1 ou 2 (et celui-ci possède forcément une racine dans F4), sauf si le polynôme P est irréductible.