probleme démo tétraèdre de contraintes

[fabio123]

bonsoir,

je n'arrive pas à retrouver l'expression du vecteur orthogonal à la surface ABC (cf image en pièce jointe), de longueur et dirigé de l'intérieur du tétraèdre vers l'extérieur, soit :

où



J'arrive à le prouver pour des triangles équilatéraux mais dans le cas général, je sèche ...
Il est marqué dans la correction que les aires Si sont égales à la projection de l'aire ABC sur le ième plan, mais je n'arrive pas à faire le lien entre les angles dans le cas de triangles quelconques.

merci d'avance.
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[invitea6f35777]

Slt,

Si tu connais le produit vectoriel et ses propriétés, c'est pas très difficile. En fait, on peut prendre cette définition pour le produit vectoriel:

Soient , et trois points de l'espace de dimension 3 alors le produit vectoriel est le vecteur orthogonal au plan , dirigé de telle sorte que le triplet soit direct (la direction du produit vectoriel est donné par la règle de la main droite, ou du tire bouchon de Maxwell ou du petit bonhomme d'Ampère) et dont la norme est le double de l'aire du triangle , c-a-d:


Donc, dans ton problème:

En utilisant la relation de Chasles, la bilinéarité du produit vectoriel et le fait que le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul tu as:



Voilà Maintenant si tu ne connaît pas le produit vectoriel je te conseille de tout faire avec des coordonnées, c'est difficile mais c'est un excellent exercice.