développer en série entière

[invitef7cb9c5c]

bonjour
pour développer en série entière e^-t2/2
je pose a= t²/2
or e^-a= sum (-1)ⁿaⁿ/ n!
alors je conclus que
e^-t2/2= sum (-1)ⁿt²ⁿ/2ⁿ n!
voyez-vous une erreur

par ailleurs j'ai une equation différentielle y'-xy=1
je pose f (x) = sum a_nxⁿ solution de l'équation
je trouve ( 2n+1)a_2n+1= a_n
et je conclus que f(x)= sum x²ⁿ⁺¹/[(2n+1)(2N-1)...5*3*1]
qu'en pensez-vous?
fifrelette

est
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[invitef7cb9c5c]

voilà, en recalculant je me demandais si e^-t2/2= sum (-1)ⁿt²ⁿ/2 n!
je tourne un peu voir beaucoup en rond
je manque d'une méthode sur pour pas me tromper
avez vous un moyen pour que je sache par la suite me débrouiller
fifrelette

[KerLannais]

Salut,

Il est vrai que

et il suffit en effet de remplacer par dans la formule que tu as donné. Je ne vois pas pourquoi tu doute

Par contre, je ne vois pas comment tu arrives à la relation

moi j'aurai plutôt dit

mais par contre je suis d'accord avec ton résultat final à condition que tu ais la condition initiale .

Dans ce cas la solution de ton équation différentielle se calcule simplement par les méthodes classiques (sans utiliser de développement en série) et tu as

[invitef7cb9c5c]

en fait c'est parce que j'essaie de comprendre comment on résoud une équation différentielle à l'aide une solution du type sum a_nxⁿ
j'ai trouvé des méthodes mais pas d'exercice corrigés en détails
j'arrive à a₀=0 a₁=1 et (n+2)a_n+2=a_n
c'est une série lacunaire tout les a_{n avec n pair sont nuls}
j'ai la récurences a_2n+1= 1/ [(2n+1)(2n-1)....5*3*1] n'est-ce pas
donc ma série entière s'écrit sum x²ⁿ⁺¹/[(2n+1)(2n-1)....5*3*1]
il ets vrai que je m'intéresse aux maths justement parce qu'il faut surtout comprendre ....mais là c'est pas gagné!
fifrelette

[A voir en vidéo sur Futura]

[KerLannais]

Oui il s'agit du bon résultat.

L'exo ultra classique de résolution d'équations différentielles à l'aide de série entière est de résoudre les équation de Bessel

ou est un paramètre, en général entier naturel.

[invitef7cb9c5c]

moi aussi, j'avais (n+2) a_n+2=a_n
et j'ai aussi A₁=1; a₃=1/3 a₅=1/15
la récurrence donne an= 2ⁿn!/(2n+1)! mais je l'ai trouvé à taton
y-a-t-il un moyen de le montrer?
sinon dans mon cours je n'ai pas d(équation de Bessel, par contre j'en ai trouvé une dans les exercies corrigés, je vais essayer de comprendre
merci pour ton aide KerLannais
bonne nuit