trouver un corps fini

[christophe_de_Berlin]

Bonjour,

j´aimerais trouver LA méthode, mais aussi et surtout comprendre les méthodes utilisées dans mes bouquins pour trouver les éléments d´un corps fini. Je prend donc un exo classique: Décrire un corps à 9 éléments.

Je prend donc , je trouve un polynôme irréductible, par exemple X² +1 (de degré 2 et sans racines dans ). Donc le corps est une extension de degré 2 de , il est donc de cardinal 2³ = 9.

À partir de là je suis paumé:

Dans les solutions préconisées, ils prennent x la classe de X et ils font des trucs bizarres, incompréhensibles à mes yeux.

J´ai regardé les solutions d´autre exos similaires, etc... ils font tous la même chose:
- Ils prennent le corps premier , p étant premier,
- Ils cherchent un polynôme irréductible de degré adéquat

jusque là d´accord. Puis:

- ils racontent: "soit x la classe de X"
- dans certaines solutions ils font une table de correspondance entre les puissances de x et des expressions polynômiales.


Bref, à partir du moment où j´ai trouvé le polynôme irréductible adéquat, je ne sais plus quoi faire et je ne comprend pas les solutions préconisées.


Si quelqu´un pouvait m´aider...

Merci d´avance

christophe
-----

[Seirios]

Bonjour,

Si je ne me trompe pas, il faut considérer comme un -espace vectoriel, et montrer que est une de ses bases. A partir de là, on peut facilement énumérer ses éléments.

[invite4ef352d8]

Salut !

ba j'imagine qu'après ce qu'ils font dans les livre c'est dresser une table de multiplication du corps non ? donc ils listent les elements et calcule le produit de deux elements...

ou alors comme on sais que (Fq)* est cyclique, ils s'arrangent pour que x (la classe de X) soit un générateur et peuvent alors faire une table des puissance de x d'un coté avec les expressions polynomial de l'autres...


enfin dans tous les cas tous ca vient du fait que la question "décrire un corps à q elements" est pas très claire... ca veut dire quoi décrire ? personellement, je trouve que "corps à q elements" est une description amplement suffisante étant donné que ça le caractérise...

[christophe_de_Berlin]

ben je suppose que décrire un corps à 9 éléments, c´est d´abord citer ces éléments en question. Dans F₉, je sais que les éléments de F₃ y sont, ça fait déjà 3 éléments, les 6 autres sont à inventer... D´après ce que j´ai compris (enfin j´espère...) si on dit que F₉ est le corps F₃[X]/X²+1, alors les éléments de F₉ sont les classes des restes de la division euclidienne des polynômes de F₃ par le polynôme X²+1. Donc théoriquement on devrait arriver à 9 éléments. Mais j´arrive pas à m´imaginer que la méthode consiste à écrire tous les éléments de F₃[X] et ensuite d´effectuer la division euclienne...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Pour trouver tous les éléments de Z/nZ, est-ce que tu ecrit tous les entier possible puis tu calcule toutes les divisions euclidienne par n ? non, tu sais que les résultat de la division euclidienne sont des entier entre 0 et (n-1) donc il suffit de se restreindre à ces entier là et par définition de la division euclidien ils sont tous distinct dans le quotient et hop, on sais que comme ensemble Z/nZ c'est {0,...,n-1}

ici c'est pareil : tu sais que les résultats de la division euclidienne ce sont des polynomes de degrée <2, et qu'ils sont tous distinct dans le quotient, donc les element de F_9 ce sont des truc de la forme a.i+b avec a et b dans F_3 (ou j'ai noté i la classe de x parceque i²=-1...)

[christophe_de_Berlin]

Merci bien pour toutes vos aides, ça m´a aidé, effectivement, avec d´autres exemples j´ai à peu près la méthode. J´ai eu simplement du mal à passer de la théorie du cours à la pratique.

Christophe