Borner une suite récurrente?

[invite92deb57a]

Bonjour à tous et à toutes !
Je bloque sur un petit exo tout simple mais apparement c'est bien les exos les plus simples qui posent le plus de problèmes :

Soit (U_n) la suite définie par le réel U₀=5 et la relation de récurrence U_n+1=(2/U_n)+1

1°
Montrer que la suite est bornée par 7/5 et 5
Est elle monotone ?

Bon apparement elle n'est pas monotone, c'est facile à montrer par contre pour borner la suite le problème c'est que je ne connais qu'une seule méthode qui ne me parait pas très correcte : utiliser la relation Un = f(n), la fonction f étant égale à (2/x) + 1 et après montrer que si 7/5<x<5 alors 7/5<f(x)<5 mais je ne sais pas comment montrer ça de manière " mathématiquement " correcte
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[invitea7fcfc37]

Ou par récurrence non ?

[invite88ef51f0]

Salut,
Etudie les variations de f sur l'intervalle [7/5,5].

[invite92deb57a]

La fonction f est décroissante sur cet intervalle mais vu que la suite est définie par récurrence ce serait quand même un peu tricher dire :
- f(x) est décroissante sur [7/5;5]
- 7/5<x<5 et 7/5<f(x)<5
(Bon là il faut trouver un moyen de mettre en évidence le lien logique qui existe entre ce qu'on énonce et la déduction finale et je vois pas comment faire )
Donc (Un) est bornée par 7/5 et 5

Non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[erff]

7/5<x<5 donc comme f est decroissante
f(5)<f(x)<f(7/5)
Si tu montrais que f(7/5)<=5 et f(5)>=7/5 ......