Tenseur, petit souci

[zaskzask]

Bonsoir à toutes et à tous,

Dans mon cours, il est défini le produit tensoriel , mais pour moi, ce n'est pas un produit tensoriel car c'est le produit entre deux vecteurs et de E qui n'ont pas d'arguments non?
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Je ne vois pas le problème : les vecteurs sont des tenseurs contravariants d'ordre 1 ; il est tout à fait légitime de considérer le produit tensoriel de deux vecteurs qui est un tenseur contravariant d'ordre 2.

[zaskzask]

les vecteurs sont des tenseurs contravariants d'ordre 1

"sont", ou on les identifie?

[invite57a1e779]

Bonjour,

Je persiste et signe : les vecteurs sont les tenseurs contravariants d'ordre 1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[zaskzask]

Alors que signifie cela? (image attaché ou ci-dessus (dessous))

[Amanuensis]

qui n'ont pas d'arguments non?

Que voulez-vous dire par là ? Quelle relation entre tenseurs et arguments invoquez-vous ?

(La réponse est peut-être dans a pièce jointe, mais elle n'est pas validée quand je poste ce message.)

[zaskzask]

Ce que je veux dire par là (je m'explique):

Je cherche à comprendre si un vecteur est un tenseur contravariant d'ordre 1 ou si on identifie un vecteur à un tenseur contravariant d'ordre 1 grâce au produit de dualité comme montré ici http://forums.futura-sciences.com/ma...e-dualite.html

[invite57a1e779]

Bonjour,

Un vecteur est un tenseur contravariant d'ordre 1.

Une forme linéaire est un tenseur covariant d'ordre 1.

Le crochet de dualité est le résultat de la contraction opérée sur le tenseur décomposé d'ordre 2, une fois contravariant et une fois covariant, .

Plus précisément l'application bilinéaire :



induit une application linéaire , la contraction, de dans .

[Amanuensis]

Je cherche à comprendre si un vecteur est un tenseur contravariant d'ordre 1 ou si on identifie un vecteur à un tenseur contravariant d'ordre 1

En complément de réponse : quelle différence voyez-vous entre les deux cas ? La notion de tenseur sous-entend différentes "identifications", et si pour vous "vecteur" signifie autre chose que "tenseur contravariant d'ordre 1", c'est juste que vous spécialisez le mot "vecteur" à un des aspect d'un tenseur contravariant d'ordre 1, non ?

[zaskzask]

Il me semble qu'il y a une différence.

Je prend un autre exemple : on m'a toujours dit qu'un vecteur n'est pas un point. Par contre, si j'ai bien compris, il existe une identification entre ces deux objets mathématiques. Je pensais que c'était un peu près la même chose pour les vecteurs et les tenseurs contravariants d'ordre 1 et que ces 2 objets étaient liés par l'injection canonique (comme certains l'appellent apparemment). Mais en voyant vos réponses, un doute survient.

[invite76543456789]

salut!
Tu as plusieurs définitions (équivalentes cela va de soit) de tenseur.
La définition la plus naturelle de tenseur de type (n,m) c'est element de où E apparait n fois et E* m fois.
Selon cette définition un tenseur de type (1,0) c'est bien un element de E, un vecteur, c'est une égalité.

Selon ta définition, un tenseur 1 fois contravariant c'est une forme linéaire sur E*, donc un element de E**, du bidual, et tu as (en dimension finie) un isomorphisme canonique de E sur E**, donc tu peux identifier E et les tenseurs contravariant.

Dans tous les cas le produit tensoriel n'est défini qu'a isomorphisme unique prés, donc bon... ca a pas vraiment d'importance.

Ps; je fais un peu ma pub, mais tu peux aller voir ici pour plus de précisions.

[inviteea028771]

Il me semble qu'il y a une différence.

Je prend un autre exemple : on m'a toujours dit qu'un vecteur n'est pas un point. Par contre, si j'ai bien compris, il existe une identification entre ces deux objets mathématiques. Je pensais que c'était un peu près la même chose pour les vecteurs et les tenseurs contravariants d'ordre 1 et que ces 2 objets étaient liés par l'injection canonique (comme certains l'appellent apparemment). Mais en voyant vos réponses, un doute survient.

En maths on identifie souvent les objets entre eux...

Par exemple quand on dit on fait une identification, qui dépend de la méthode que l'on a utilisé pour construire (et le fait qu'il existe plusieurs définitions de R indique que l'on a identifié des objets très différents).

[Amanuensis]

Je prend un autre exemple : on m'a toujours dit qu'un vecteur n'est pas un point. Par contre, si j'ai bien compris, il existe une identification entre ces deux objets mathématiques.

Il y a peut-être un autre petit souci, là ? Quelle identification ? Celle dans un espace affine euclidien une fois choisie une origine ?

(Parce que si c'est cela, la vision que cela donne des vecteurs risque d'être être mal adaptée pour travailler avec les tenseurs.)

[zaskzask]

Ok, MissPackMan, je crois avoir trouvé la réponse à ma question.
En tout cas, merci à tous!

Bonne soirée.

[zaskzask]

Encore un truc:

(i)On a pour le produit tensoriel de covecteurs.

Y a t'il aussi une formule explicite pour le produit tensoriel de vecteurs?

(ii)Pour l'identification V=V**

Si on a une base de V, on trouve la base duale puis la base biduale ,
est-ce que les composantes de v** et de v seront les mêmes, respectivement dans la base biduale et la base duale? (ou v**(f)=f(v) )

(iii) à quoi sert-il d'identifier un tenseur à une matrice. Peut on alors utiliser le produit matriciel pour exprimer le produit tensoriel dans une base donnée?

[invite76543456789]

Encore un truc:

(i)On a pour le produit tensoriel de covecteurs.

Y a t'il aussi une formule explicite pour le produit tensoriel de vecteurs?

Juste une remarque, ta formule est bien sur vrai dans ce cadre, mais cela vient du fait que tu as une fleche de Hom(E,R) tenseur Hom(F,R) dans Hom(E tenseur F,R), cette fleche est dans le cas des ev de dimension fini un isomorphisme. C'est ce qui te permet l'identification, tu vois un produit tensoriel de formes linéaires comme une forme n-linéaire. (je te fais cette remarque car cette identification n'est en general pas possible dans le cas general).
Je comprends pas ce que tu entends du coup par formule explicite, c'est tres "explicite".

(ii)Pour l'identification V=V**

Si on a une base de V, on trouve la base duale puis la base biduale ,
est-ce que les composantes de v** et de v seront les mêmes, respectivement dans la base biduale et la base duale? (ou v**(f)=f(v) )

(iii) à quoi sert-il d'identifier un tenseur à une matrice. Peut on alors utiliser le produit matriciel pour exprimer le produit tensoriel dans une base donnée?

Pour le ii) bien sur, c'est la définition meme de base duale en fait.
Pour le iii), fondamentalement à pas grand chose (mais un peu quand meme, par exemple à faire des calculs), ca permet aussi de transporter certaines constructions d'un cadre à l'autre, mais moralement les objets sont tellement proches que bon. Par contre le produit matriciel n'est pas du tout le produit tensoriel. Le produit tensoriel c'est avant tout une opération sur les espaces, et pas sur les vecteurs.

[zaskzask]

Ok.

encore quelque bricoles suplémentaires ():

1)(A confirmer, ou non)

Pour la différence entre les indices en haut et les indices en bas, il y a deux cas:

i)Pour un vecteur, on met l'indice en bas, pour un covecteur on met l'indice en haut.

ii)Pour une coordonnée contravariante, on met l'indice en bas. Pour une coordonnée covariante on met l'indice en haut. (ex: et ou est un covecteur et x appartient au bidual.

2) Au niveau de l'écriture, on souligne le tenseur autant de fois que son ordre? Donc un vecteur est souligné une fois et un covecteur souligné aussi une fois?

3)Sous wikipedia, pour l'explication du tenseur métrique, il y a
je ne vois pas trop ce que signifie le et comment trouver cette expression.

4) question d'ordre générale: quand on a cela veut-il dire ?

[zaskzask]

Précision: la pièce jointe est pour le 3)

[Amanuensis]

Pour la différence entre les indices en haut et les indices en bas, il y a deux cas:

i)Pour un vecteur, on met l'indice en bas, pour un covecteur on met l'indice en haut.

C'est le contraire ( représente les composantes d'un vecteur).

ii)Pour une coordonnée contravariante, on met l'indice en bas. Pour une coordonnée covariante on met l'indice en haut.

Aussi le contraire.

(ex: et ou est un covecteur et x appartient au bidual.

Faut distinguer les composantes et les vecteurs de bases. La convention est inverse l'une de l'autre. Pour les composantes les indices en haut sont contravariants.

4) question d'ordre générale: quand on a cela veut-il dire ?

Oui. Et souvent le signe "sum" est omis (cf. convention d'Einstein).

[zaskzask]

hmmm...

il faut alors faire la différence entre 3 cas:

-vecteur(indice en haut) ou covecteur(indice en bas)
-vecteur (indice en bas) ou covecteur(indice en haut) de base
-coordonnée (scalaire).

c'est ça les conventions?

[invitee0fcad7a]

bonne remarque

La définition que je préfère est celle avec la propriété universelle, le diagramme commutatif. Il me semble que personne ne l'a évoqué.