Symmétrie, cycle et décomposition de polynômes

[Scorp]

Bonjour à tous,

A partir d'un problème de physique, j'observe que les symmétries de mon problème à N dimensions sont les cycles. Par exemple, pour N=4, mon problème à 4 dimensions est symmétrique (je devrais peut être dire invariant plutôt, je ne sais pas ce qui est le mieux) par les cycles :
(1234) -> (4123)
(1234) -> (3412)
(1234) -> (2341)
(1234) -> (1234)
Il se trouve aussi que l'équation qui régie mon système physique est du type qu'on peut décomposer avec les racines n-ieme de l'unité ou avec les polynomes cyclotomiques, ce qui est assez intéressant car il se trouve que l'étude de chaque polynôme cyclotomique (dans le cas N=4 il s'agit de X-1, X+1 et X^2+X+1) réduit mon problème physique complet à une étude indépendante de X-1=0, X+1=0 et X^2+X+1=0 qui ont des sens physiques particuliers ! Ces "sous-problèmes" semblent très liés aux symmétries que j'ai évoqué. Par exemple, le "sous-problème" d'équation X+1=0 semble lié au fait que le cycle (1234)->(3412) laisse invariant mon problème.

D'où ma question : tout ca ce n'est que des '"il semble", mais est ce qu'il y aurait un moyen de lié tout ceci correctement ensemble : Je veux dire par là, que sans faire tous les calculs pour montrer que mon problème général est X^N-1=0 pour ensuite le décomposer et voir que X+1=0 était une partie du problème, est ce que je n'aurais pas pu, à partir de l'étude des symmétrie, me dire (1234)->(3412) DONC il existe une partie de mon problème régie par l'équation X+1=0 ???

Je ne sais pas si c'est très claire, mais merci à ceux qui prendront le temps de m'éclairer, même partiellement. Un début de piste est toujours intéressant à suivre
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[God's Breath]

Bonjour,

Tout cycle admet un ordre, le plus petit entier non nul tel que .
Les cycles sont naturellement associés aux racines de l'unité d'ordre , c'est-à-dire aux complexes tels que soit le plus petit entier non nul tel que , ou encore les racines primitives -ièmes de l'unité.

(1234) -> (4123) et (1234) -> (2341) sont d'ordre 4, associés aux racines primitives quatrièmes de l'unité, c'est-à-dire à et . Ces cycles sont dont régis par l'équation : , c'est-à-dire (et non dont les racines sont des racines cubiques de l'unité).
(1234) -> (3412) est d'ordre 2, associé à l'unique racine carrée primitive de l'unité : ; il est donc régi par l'équation : .
(1234) -> (1234) est d'ordre 1, associé à l'unique racine primitive d'ordre 1 de l'unité : ; il est donc régi par l'équation : .

[Scorp]

Merci pour cette réponse. Mais j'ai encore besoin de clarification (car il faut que je puisse l'expliquer à des non matheux idéalement ...) Les "donc" sont un peu rapide pour quelqu'un qui ne connait pas le sujet je pense.

Par exemple, dans le cas (1234)->(3412) moi j'en déduirais plutôt que cette symétrie est générée par , non ? Ensuite, je suppose qu'on décompose cette relation en qui est en fait lié à la symétrie (1234)->(1234) et qu'il reste donc que caractérisant cette symétrie.

Est ce que je peux éviter ce passage par qui m'oblige à faire le détour en disant qu'une partie est déjà décrite par la symétrie (1234)->(1234) est enlever une racine ? J'aimerais pouvoir arriver directement aux résultats ^ si c'est possible. Je demande ça car dans les cas d'ordre plus élevé, ex quatre, ca m'oblige a dire que c'est généré par puis à enlever les et qui décrivent déjà les autres symétries (d'ordre 1 et 2). Plus je vais monter en ordre, plus je vais me galérer à l'expliquer. Donc un résultat plus directe serait intéressant, mais je n'arrive pas à mettre tout ça en forme...

Concrètement, j'aimerais pouvoir expliquer et donc formuler correctement le passage : "La symétrie laisse invariant mon système donc .... donc cette symétrie induit un "sous-problème" propre (irréductible) où est le polynôme cyclotomique d'ordre d".

C'est le passage entre les "donc" que je n'arrive pas à formuler correctement est de façon convaincante sans faire des détours comme montré plus haut.

MErci de ton aide en tout cas !!!