Bonjour je me suis inscrit sur ce site parce que depuis quelques jours je bloque sur une question en algèbre, la voici :
Décomposer le polynôme P = 6X^10 - 63 dans Z[X].
Je sais comment faire pour montrer qu'un polynôme est irréductible (et ce n'est pas le cas de celui-là, du moins si je ne me suis pas trompé) mais je ne vois pas du tout comment trouver sa décomposition, si quelqu'un pouvait m'aider...
Merci
Bonjour et bienvenu.
Une méthode simple est de cherchertel que
Reproduire l'opération jusqu'à obtenir un polynôme irréductible.
Cordialement,
--Yankel Scialom
Merci prgasp77 mais je n'arrive pas à comprendre : je suis d'accord dans le principe (j'aurais fait ça naturellement moi aussi) mais pourtant on voit directement que ce polynôme n'a aucune racine dans Z (les seules racines qu'il pourrait avoir sont 1,26... et -1,26...) ce qui voudrait dire qu'il est irréductible dans Z pourtant si on réduit le polynôme modulo 2 on voit bien qu'il n'est pas irréductible dans Z donc c'est là que je ne comprends pas du tout !
Hello,
La remarque de prgasp77 est effectivement "fausse" car un polynôme peut être réductible sans avoir de racines dans l'ensemble considéré (ex : X^4 - 4 sur Z)
Par contre, ton polynôme est irréductible sur Z, par le critère d'Eisenstein avec "p = 7".
Oui voilà il me semblait bien qu'un polynôme pouvait être réductible sans avoir de racine dans l'ensemble comme tu l'as dit g_h. Je te remercie pour ta réponse g_h, j'avais aussi pensé au critère d'Eisenstein mais je m'étais arrêté en pensant que 7 ne divisait pas 0 (0 étant les coefficients devant X^9, X^8,..., X) ce qui était une grossière erreur !
Merci encore !
PS : ...et juste au cas où je tomberais sur cette question : si un polynôme compliqué comme celui-ci (6X^10 - 65 par exemple) n'est pas irréductible, y a-t-il une méthode pour trouver sa décomposition en facteurs irréductibles ?
Je ne crois pas qu'il y ait de méthode générale "simple" (ni peut-être même compliquée), il y a juste une bonne floppée d'astuces pour arriver à ses fins, sans garanties d'y arriver : Eisenstein, translation, réduction modulo p...
D'accord !
Merci pour ton aide !
Au temps pour moi, j'ai sous-estimé l'ensemble d'outils auxquels tu avais accès. Dans ce cas, c'est comme beaucoup de chose en maths : il n'y a pas de procédure générale. Il faut de l'entrainement afin d'acquérir tout un tas de petits trucs et habitudes ...
Bonne chance.
--Yankel Scialom
Il n'y a pas de mal j'aurais dû signaler que j'étais en troisième année de licence de Mathématiques. Merci quand même.
