Polynômes irréductibles

[invitefb392423]

Bonjour,
j'ai plusieurs questions sur concernant l'irréductibilité de polynômes sur certains corps.

a) est irréductible sur cela semble évident mais comment le montrer?

Peut-on dire qu'il n'existe pas de a et b tels que
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[invite57a1e779]

est irréductible sur cela semble évident mais comment le montrer?

Peut-on dire qu'il n'existe pas de a et b tels que

est de degré 3, si l'on peut le factoriser dans , un des facteurs est de degré 1, et admet une racine dans le corps . Or aucun élément de n'est racine de car l'égalité conduirait à rationnel...

[invitefb392423]

merci encore une question pour montrer que

Sachant que j'ai trouvé comme -base de cette base:

Je dois faire comment je peut montrer que chaque éléments de cette base s'écris en fonction d'une puissance de ou plutôt essayer une double inclusion?

[invite57a1e779]

merci encore une question pour montrer que

Sachant que j'ai trouvé comme -base de cette base:

Je dois faire comment je peut montrer que chaque éléments de cette base s'écris en fonction d'une puissance de ou plutôt essayer une double inclusion?

Les deux méthodes se valent :
– ou tu montres les deux inclusions et
– ou tu exprimes une base de l'un en fonction d'une base de l'autre, dans les deux sens. Ta proposition d'exprimer les éléments de la base de en fonction de puissances de n'équivaut qu'à l'inclusion , il te faut aussi exprimer une base de en fonction de et .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefb392423]

juste pour être sur que c'est bon comme ça:
1.
car ?


2.
car et

C'est bien quelque chose comme ça qu'il faut faire?

[invite57a1e779]

juste pour être sur que c'est bon comme ça:
1.
car ?


2.
car et

C'est bien quelque chose comme ça qu'il faut faire?

Oui, c'est exactement comme ça qu'il faut faire, et si tu réfléchis bien, la réponse au 2 devrait te permettre de répondre au 1.

[invitefb392423]

Ok je peux remarquer que de là je trouve que


Je suis bête de toute façon dans ma base j'ai j'ai juste à multiplier par 1/2...

[invitefb392423]

Voilà mon problème suivant...

(a) Est-ce que est irréductible sur ?

(b) Calculer


(c) Trouver un entier n>0 tel que .

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pour la question (a) je dirais que non car:

pour b) je dirais:

or

pour je pourrais peut être dire que
donc de degré 2 et le tout de degré 4...
Mai slà je pense que je dois avoir fait des erreurs non??
En plus il me semble que ...

Je pense que là un truc m'échappe ....

[invite57a1e779]

Ok je peux remarquer que de là je trouve que

La première relation est suffisante puisque est un corps.
La deuxième relation prouve en fait que , mais comme le prétendu anneau est en réalité le corps , c'est un détour bien inutile.

Je suis bête de toute façon dans ma base j'ai j'ai juste à multiplier par 1/2...

C'est effectivement une bonne remarque.

[invite57a1e779]

Est-ce que est irréductible sur ?
je dirais que non car:

Tout simplement

or

pour je pourrais peut être dire que
donc de degré 2 et le tout de degré 4...

A condition de bien justifier que est le polynôme minimal de sur

En plus il me semble que ...

ce qui règlerait le point c...

[invitefb392423]

est bien le polynôme minimale de
sur

Et la base de mon extention en question serait: ...

Et donc pour c) n=4

[invitefb392423]

J'ai une nouvelle question je dois montrer que est irréductible sur .

ma façon de procéder: comme P est de degré trois si il est réductible il a une racine dans et on aurait: et on montre facilement que ce n'est pas possible...
Peut-on montrer autrement que ce polynôme est irréductible sur .?

[invite57a1e779]

Et la base de mon extention en question serait: ...

Et donc pour c) n=4

Ben oui.
Dans ce cas donc et , alors que l'on avait rien de tel avec .