Bonjour(soir),
j'ai vraiment du mal à comprendre cette partie de mon cours, d'autant plus qu'il n'y a aucun exemple.
J'ai comme exercice "Décomposer le polynômeen produits de facteurs irréductibles sur
Il faut commencer par calculer les racines (6-ièmes dans ce cas) de ce nombre, c'est bien ça ? Donc, est-ce que je dois d'abord développer
Petit up car je ne sais toujours pas comment faire, d'abord pour calculer les racines de
Merci
Personne ?
Je suis désolé de remonter encore le sujet mais j'aimerais vraiment comprendre...
Il y a aussi quelque chose qui ne me paraît pas clair dans la théorie : quand on parle de "racines" dans cette phrase :
"Tout polynôme de degré n (> 0) à coefficients complexes
admet dans
Les racines sont les solutions de z^6+1=0 donc z^6=-1. Tu connais sans doute la formule e^(i*pi)=-1 donc z^6=e^(i*pi) ->
z1=e^(i*pi/6) = cos(pi/6) + i*sin(pi/6) est la premiere racine, les autres sont:
z2=e^(i*3*pi/6) = cos(3*pi/6) + i*sin(3*pi/6)
z3=e^(i*5*pi/6) = cos(5*pi/6) + i*sin(5*pi/6)
etc... jusqu'à
z6=e^(i*11*pi/6) = cos(11*pi/6) + i*sin(11*pi/6)
ce sont les puissances impaires de z1 car si z1^6=-1 alors (z1^3)^6=-1 aussi ...etc...jusqu'à z^11.
Dans C le polynome s'écrit donc: (z-z1)(z-z2)...(z-z6)
Dans R aucune de ces racines n'est entiere cependant on peut l'écrire sous forme d'un produit de polynomes de degrés 2. En effet on remarque que z1 et z6 sont conjugués, même chose pour z2 et z5, z3 et z4:
(z-z1)(z-z6) est à coefficients réels, même chose pour (z-z2)(z-z5) et (z-z3)(z-z4). Donc tu développes ces 3 polynomes de degré 2 et ca te donne les facteurs de z^6+1 dans R.
NB: cos(pi/6)=sqrt(3)/2, sin(pi/6)=1/2
cos(3*pi/6)=0, sin(3*pi/6)=1... etc...
en fait dessine le cercle unité dans le plan complexe pour bien voir les racines.
