Annal math concours inspecteur des finances publiques

[inviteb576b4cd]

Bonjour à tous,
je suis en train de préparer un concours d'inspecteur des finances publiques et j'ai pris math en option obligatoire.
Sur un sujet, j'ai un petit problème et je souhaite de l'aide !
Voici l'exo :

Pour tout entier naturel n non nul et tout réel x strictement positif, on pose :
F_n(x) = intégrale de 0 à inf (dt/((t²+x²)ⁿ)

1)
on admet que Fn est définie et dérivable sur ]0;+inf] et que sa dérivée vérifie :
F'_n(x) = intégrale de 0 à +inf ((d(fn(x,t))/dx)dt)
Monter que pour tout x appartenant à ]0;+inf], F'n(x) = -2nxF_n+1(x)

2)
Calculer F₁.
(on pourra calculer dans un premier temps intégrale de 0 à A (dt/(t²+x²)) puis faire tendre à vers +inf

3)
a) Montrer par récurrence que F_n est de la forme F_n(x) = a_nx^1-2n
où a_n est un réel qui vérifie une relation de récurrence que l'on précisera.

b) En déduire la valeur de F_n(x) pour tout n entier naturel non nul et pour tout x réel strictement positif.

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Ca fait déjà un moment que j'ai laché les math. Je m'y suis replongé mais je coince sur cet exo. Si vous pouvez préciser le max d'info pour que je puisse répondre à un sujet du même type.
Merci pour votre aide.

PS : voici le lien du sujet complet avec les vrais math (c'est plus facile pour la lecture )
http://www.devenez-fonctionnaire.fr/...10-mathsv2.pdf
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[invite30ef6b8f]

Bonsoir Ted84,
J'essaierai de répondre à tes questions:
1) d(fn(x,t))/dx= d((t2+x2)-n)/dx= -n.(t2+x2)(exposant(-n-1)).2.x= -2nx/(t2+x2)(expo(n+1)
donc Fn'(x)=intégrale de 0 à inf (-2nx/(t2+x2)expo(n+1)) = -2nxFn+1(x)

2) Pour calculer F1, on utilisera un changement de variable t_>t/x, et on observera la dérivée de la fonction Arctg
F1(x) = pi/(2x)

3) Pour avancer dans l'étape héréditaire de la démonstration par récurrence , on utilise la relation démontrée dans 1)

an+1 = (2n-1)an/(2n)

4) pour n> ou égal à 2, an = (2n-3)!/(2expo(2n-2).(n-1).((n-2)!)expo2

Je suis désolée, je n'arrive pas à bien utiliser la fonction expo, s'il y a moyen, je peux envoyer une correction rédigée en pdf
J'ai lu que tu passes le concours minefip, j'ai compris qu'il s'agit de 2012, je ne l'ai pas passé car j'étais bien classée sur la liste complémentaire,
mais je tenterai l'année prochaine.