J'aimerais bien que quelqu'un m'explique la théorie des ensemble infinis, comment les comparée, comment faire les calculs pour une bijection, une injection et une surjection de Cantor, car mon professeur de maths m'a donné deux ensembles qui sont [10, 15] ou [10,100], il faut prouver pourquoi dans les deux ils sont le même nombre de chiffre et je suis un peu perdu, car il faut faire des calculs alors j'aurais vraiment besoin d'une explication complète.
Merci beaucoup !
Bonjour.
Tu as eu un cours, le mieux c'est de l'étudier pour comprendre de qui il parle.
Intuitivement, une application de E dans F est une bijection si c'est une application (tout élément de E a une image unique dans F) et si tout élément de F a un antécédent unique dans E. Ce qui revient à dire qu'en associant à tout élément de F son unique antécédent, on définit une nouvelle application, qui "défait ce que f a fait", l'application réciproque de f.
Tu trouveras sur Internet de nombreux documents à ce propos.
"...mon professeur de maths m'a donné deux ensembles qui sont [10, 15] ou [10,100], il faut prouver pourquoi dans les deux ils sont le même nombre de chiffre ..." Non, ton prof ne t'a pas donné ça. L'énoncé précis est autre. revois d'ailleurs ce que veut dire chiffres.
Bon travail !
Pouriez-vous m'expliquer donc comment faire l'image d'une fonction alors...?
Salut,
Ca dépend certainement de chaque cas particulier, de la manière dont la fonction est définie, etc....Envoyé par Sesa12345678
Mais sinon, pour le principe. Si tu as une application ou une fonction de E dans F, pour avoir l'image de la fonction, il suffit de prendre tous les éléments de E, de calculer l'image de chacun des éléments, et le résultat complet est l'image de la fonction.
Exemple. E = {1, 2, 3}, F = {1, 2, 3, 4, 5}
J'ai la fonction f définie par l'application de 1 à 1 et 2 à 4. L'image de f est donc simplement {1, 4}.
Si j'ai la fonction g définie par g(n) = n + 1 (n appartient à E), alors l'image de chaque élément de E est :
1 -> 2
2 -> 3
3 -> 4
L'image de g est donc {2, 3, 4}
J'espère que c'est un peu plus clair.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Pour compléter la réponse de Deedee81, je commencerais par donner une définition d'une fonction (qui a permis à mes enfants de bien comprendre le concept dès la 4ième et de l'utiliser jusqu'à maintenant (1ère) :
Une fonction, c'est un machin qui a un truc fait correspondre un bidule.
Pour décrire complètement une fonction il faut donc être capable de dire, pour chaque truc, quel bidule, le machin lui fait correspondre.
Dans le cas ou l'ensemble de départ est fini, il y a 2 façons de procéder :
1) en extension : on cite explicitement, pour chaque élément de l'ensemble départ quelle est son image, éventuellement qu'il n'en a pas (premier exemple de Deedee81), ce qui peut devenir pénible si le premier ensemble est "grand".
2) en compréhension : on donne une méthode de calcul (dans un sens très large incluant les algorithmes) qui permet de déterminer cette image (deuxième exemple de Deedee81), ce qui est toujours possible, mais peut se révéler très complexe à mettre en oeuvre.
Je donne un exemple avec un algorithme : E = Ensemble de robes, F = un ensemble de mannequins, attribuer chaque robe à un mannequin (pour un défilé par exemple) en utilisant des critères comme la taille de la robe, la couleur de la robe, sa longueur (etc.) d'un côté, la taille du mannequin, la couleur de ses yeux, son poids, (etc.) de l'autre côté c'est exactement définir une fonction entre E et F en compréhension (sous réserve que l'algorithme soit "complet" et permette de déterminer un mannequin et un seul pour chaque robe).
Dans le cas d'un ensemble infini la définition en extension n'est clairement plus possible.
La méthode en compréhension reste possible mais dans certains cas seulement.
Prenons un exemple simple E = IN, F = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, une application de E dans F est donc une suite d'entiers que l'on peut interpréter comme la suite des chiffres décimaux d'un nombre réel entre 0 et 1.
Certaines de ces applications sont faciles à définir en compréhension : par exemple
f(0) = 5 et pour n > 0 f(n) = 0 (ce qui définit le nombre 1/2), et l'image est {0, 5}
D'autres sont un peut plus complexes, par exemple l'un des algorithmes qui permettent de calculer les décimales de, l'image ici est égal à F.
Mais il ne peut exister qu'un nombre dénombrables de tels algorithmes, il existe donc des fonctions de E dans F qui ne sont pas définissables (donc pas très faciles à manipuler) par un algorithme, celles qui correspondent à des réels non calculables, comme la constante de Chaitin.
Dernière modification par Médiat ; 10/01/2013 à 09h16.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Une fonction non calculable que j'aime bien est (après une formalisation un peu meilleure que ce petit bout de phrase) : "nombre le plus grand pouvant être écrit avec n caractères" (et en excluant les phrases auto-référentielles). Je crois que c'est dans un article de Delahaye, qui démontrait cette non calculabilité (sur base du théorème de l'arrêt des machines de Turing, la démonstration de la non calculabilité de cette fct est assez évidente)
Mais, bon, j'espère que le prof de Sesa ne lui demandera pas de calculer l'image d'une telle fonction (ce serait sadique)
Dernière modification par Deedee81 ; 10/01/2013 à 09h57.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Bonjour,
La définition la plus usuelle de fonctions (au moins au collège et au lycée) impose que tout élément de l'ensemble de départ ait une image (i.e. que l'ensemble de définition coïncide avec l'ensemble de départ). Comment justifiez-vous votre choix de définition?
Cordialement
Pour la fonction correspondant auMais, bon, j'espère que le prof de Sesa ne lui demandera pas de calculer l'image d'une telle fonction (ce serait sadique)).
En tout état de casue il existe des nombres non calculables dont on sait calculer quelques décimales et donc démontrer que l'image est bien F (dans certains cas).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour,
J'ai ajouté cette précision a posteriori, pour éviter les discussions sur le thème "Fonction vs Application" (j'ai donc raté mon coup
Il me semble qu'au lycée on étudie des fonctions de IR dans IR dont le domaine de définition n'est pas IR (c'est souvent la première question d'un devoir).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
