Prépa bio: injection surjection bijection: aïe

[invite889c52d4]

Bonjour. j'ai une question de dm sur ces notions, et come j'en ai jamais fait, je ne suis absolument pas persuadé que ce que j'ai fait soit juste: voyez plutot:
F aplication de R² sur R² qui transforme A=(x,y) en B=(2x+y,3y-x)
Montrer que f est une bijection et expliciter f^-1
Alors moi en bon élève moyen, je me dis que f est une bijection si elle est a la fois surjective et injective...
Donc pour monter qu'elle est injective j'ai fait un truc qui ressemble à rien (pour moi), c'est a dire:
f injective si: f(x)=f(y)<=> x=y.
Donc B₁=B₂<=> (2x₁+y₁;3y₁-x₁)=(2x₂+y₂;3y₂-x₂)
<=>au systeme:
2x₁+y₁=2x₂+y₂
3y₁-x₁=3y₂-x₂
=> au système: (je dirais que on peut mettre seulement l'implication, puidque solution particuliere, ce qui correspond à la definition de l'injection)
x₁=x₂
y₁=y₂
<=>A₁=A₂
Voila j'ai pas tout compris si c'est juste, et si c'est faux bahhh... dites le moi Merci d'avance
ah, et pout la surjectivité, j'ai pas d'idée de comment m'y prendre à partir de la définition de cours...mais je cherche et je trouverai ^^
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[invitead1578fb]

Salut,
pour montrer l'injectivité il ne faut pas que tu montres f(x)=f(y)<=>x=y mais f(x)=f(y) => x=y , ensuite pour la surjectivité tu peux contourner la difficulté en étudiant la linéarité de ton application et ce que cela implique, sinon tu reviens à la définition tu prends un élément de B du type (X,Y) ce qui revient ( tu es en dimension 2) à fixer deux réels a et b tels que X=2a+b et Y=3b-a montrant ainsi la surjectivité.
bonne journée (pluvieuse...)

[invite889c52d4]

C'est ce que j'ai fait non pour l'implication ? j'ai résonné par equivalence jusqu'à un certain point, où j'ai mis une implication. Mais sinon ça se tient ou tu sous entendait que tout était faux ? Merci pas la surjectivité, je vais voir ça.
Merci encore.
Arno

[invite7ffe9b6a]

Bonjour. j'ai une question de dm sur ces notions, et come j'en ai jamais fait, je ne suis absolument pas persuadé que ce que j'ai fait soit juste: voyez plutot:
F aplication de R² sur R² qui transforme A=(x,y) en B=(2x+y,3y-x)
Montrer que f est une bijection et expliciter f^-1
Alors moi en bon élève moyen, je me dis que f est une bijection si elle est a la fois surjective et injective...
Donc pour monter qu'elle est injective j'ai fait un truc qui ressemble à rien (pour moi), c'est a dire:
f injective si: f(x)=f(y) => x=y.
Donc B₁=B₂<=> (2x₁+y₁;3y₁-x₁)=(2x₂+y₂;3y₂-x₂)
<=>au systeme:
2x₁+y₁=2x₂+y₂
3y₁-x₁=3y₂-x₂
=> au système: (je dirais que on peut mettre seulement l'implication, puidque solution particuliere, ce qui correspond à la definition de l'injection) non il faut vraiment faire une equivalence ici.
Il faut vraiment que la solution soit unique.
L'injectivité c'est exactement dire:
si on a f(x)=f(y) alors forcement on a x=y.
Donc il faut montrer que la seule solution du systeme est .
x₁=x₂
y₁=y₂
<=>A₁=A₂ Voila j'ai pas tout compris si c'est juste, et si c'est faux bahhh... dites le moi Merci d'avance
ah, et pout la surjectivité, j'ai pas d'idée de comment m'y prendre à partir de la définition de cours...mais je cherche et je trouverai ^^

Bonjour
J'essaye de corriger ce que tu as fait

Pour résoudre le systeme:
Qu'est-ce qui se passe si on ajoute deux fois la deuxieme equation à la premiere?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ffe9b6a]

Bon réflexion faite .
Dire que si f est injective alors f(x)=f(y) => x=y ou
f(x)=f(y)<=>x=y
revient au meme, l'autre sens étant évident

[invite889c52d4]

Ah, merci de cette précision, parceque je n'avais pas compris pourquoi le prof ne mettait pas l'equivalence...
Merci de ton aide

[Guillaume69]

Bonjour,

Ca me parait long (et surtout inutile) de traiter injectivité et surjectivité séparément.
En effet, pour montrer la surjectivité et la bijectivité, tu repars de la définition, donc tu fais exactement le même calcul à une différence près, la solution doit être unique pour la bijectivité :
Ça c'est la question qu'on se pose. Si on répond oui, alors l'application est bien bijective.
On cherche donc s'il y a une solution unique à ce système :
2x+y=X
-x+3y=Y
En calculant le déterminant (vu au lycée mais on ne s'en rappelle pas toujours) c'est immédiat : il est non nul donc il y a une solution unique.
Sinon tu résouds rapidement et tu trouves... une solution unique Là aussi ton problème est résolu.

[Guillaume69]

Ah, merci de cette précision, parceque je n'avais pas compris pourquoi le prof ne mettait pas l'equivalence...

Il n'a pas mis l'équivalence car elle n'y est pas dans la définition de l'injectivité.

[invite7ffe9b6a]

Bonjour,

Ca me parait long (et surtout inutile) de traiter injectivité et surjectivité séparément.
En effet, pour montrer la surjectivité et la bijectivité, tu repars de la définition, donc tu fais exactement le même calcul à une différence près, la solution doit être unique pour la bijectivité :
Ça c'est la question qu'on se pose. Si on répond oui, alors l'application est bien bijective.
On cherche donc s'il y a une solution unique à ce système :
2x+y=X
-x+3y=Y
En calculant le déterminant (vu au lycée mais on ne s'en rappelle pas toujours) c'est immédiat : il est non nul donc il y a une solution unique.
Sinon tu résouds rapidement et tu trouves... une solution unique Là aussi ton problème est résolu.

Je pense que du point de vue pédagogique il n'est pas inutile de faire séparément injectivité et surjectivité surtout lorsque l'on aborde pour la première fois ces notions là.
Cela permet d'éclaircir les idées et de faire travailler les shemas de preuve et la rédaction, récurrents avec ces notions là.

L'injectivité: on suppose f(x)=f(y) => ...=>... =>x=y

La surjectivité: Soit y dans l'ensemble d'arrivée, il faut trouver un x dans l'ensemble de depart tels que f(x)=y.

On trouve un candidat x (par différentes méthodes cela dépend du problème).
On vérifie que effectivement f(x)=y

[invite889c52d4]

Merci de porter attention à mon probleme, et merci guillaume pour la concision de ta rédaction. Seul souci: si pour le mp le déterminant fait partie intégrante du paysage mathématique, il est en revanche porté inconnu au bataillon pour les prepa bio... c'est dommage ça a l'air bien pratique. (euh... je crois... t'es en bcpst aussi d'apres ton profil non ?)
Y a t'il une autre méthode pour prouver l'unicité d'un couple solution ?

[Guillaume69]

Oui je suis en prépa bio.
Le déterminant a été vu au lycée pour les systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues. J'ai vu ça en seconde et après je n'en n'ai jamais entendu parlé. Pourtant c'est bien pratique.
En fait, tes deux équations représentent des droites, qui ont chacune un vecteur directeur. Si ces deux vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, alors ses deux droites sont sécantes en un unique point, dont les coordonnées sont ton unique couple solution.
Comment vérifier que deux vecteurs ne sont pas collinéaires ? ab'-ba' non nul, avec (a,b) et (a', b') coordonnées de tes deux vecteurs. C'est comme ça que je l'avais vu en seconde.
Ici : 2x3 - (-1)x1 = 7. Le système admet une unique solution.
Après il y a des formules pour donner les solutions sans utiliser la méthode du pivot de Gauss (qui marche tout le temps mais qui est parfois lourde et qui fait faire des erreurs). Tu les verras surement ça dans l'année, sinon l'année prochaine. Ce n'est pas vraiment au programme mais c'est super pratique et ça permet d'éviter pas mal d'erreurs.

L'autre "méthode" pour montrer l'unicité du couple solution : résoudre le système. Si tu trouves une seule solution, c'est qu'il n'y en a qu'une seule
D'ailleurs, en y réfléchissant bien, c'est de toute façon ce que tu dois faire ici, puisqu'on te demande f^-1...

[invite7ffe9b6a]

Dans ce cas ni besoin de demontrer la surjectivité et l'injectivité.
On trouve la fonction réciproque que l'on note g.

on verifie que f°g=g°f=id et c'est fini.

En effet la bijectivité en decoule.

Preuve:

Id est bijective.
donc f°g (1)
et g°f (2)
sont bijectives.

Comme f°g est bijective alors f°g est surjective => f surjective
Comme g°f est bijective alors g°f est injective=> f est injective

C'est un bonne exercice que de démontrer les deux choses suivantes:

g°h injective=>h injective
g°h surjective=> g surjective


Pour ce qui est du déterminant, c'est en effet très pratique pour montrer qu'un systeme lineaire admet une unique solution,dommage que les prepa bio ne le voient pas.
Cela simplifirait d'avantage les recherches de valeur propre en deuxieme année..

[invite7ffe9b6a]

desole pour les (1) et (2) dans le post précédent ils n'ont rien à faire ici.
J'ai changé ma maniere de rediger en cours du coup j'avais plus besoin de refaire référence à ces deux trucs.

Je peux plus modifier le message ....

[Guillaume69]

On trouve la fonction réciproque que l'on note g.

Si tu as trouvé g, tu as montré que f est bijective, donc l'exercice est terminé, non ?

Pour ce qui est du déterminant, c'est en effet très pratique pour montrer qu'un systeme lineaire admet une unique solution,dommage que les prepa bio ne le voient pas.
Cela simplifirait d'avantage les recherches de valeur propre en deuxieme année..

Si si, on le voit (du moins pour l'ordre 2 et 3), comme pas mal d'autres choses qui sont hors programme mais qu'il faut absolument savoir faire pour résoudre les problème de concours.

[invite889c52d4]

Ben merci beaucoup à vous deux, mais m'est avis que j'ai pas fini de morfler ^^
Comment se passe ta prépa bio guillaume ? et toi anthoO7 tu fais quoi ?

[Guillaume69]

De rien.

Je préfère continuer la discussion par MP, pour ne pas transformer la discussion en un chat

Bonne soirée

[invite7ffe9b6a]

Si tu as trouvé g, tu as montré que f est bijective, donc l'exercice est terminé, non ?

oui c'est ce que j'ai montré après
Si on trouve la fonction réciproque c'est fini.

[Guillaume69]

Ok, je n'avais pas saisi, je croyais que tu voulais le faire vérifier que fog = I et je n'en voyais pas l'intérêt.

désolé

[invite7ffe9b6a]

Ok, je n'avais pas saisi, je croyais que tu voulais le faire vérifier que fog = I et je n'en voyais pas l'intérêt.

désolé

sauf que pour justifier que c'est bien la fonction réciproque c'est ce qu'il faut vérifier.

En gros la rédaction pourrait être:

soit g blabla

f°g=id
g°f=id

donc g=f^-1

donc f est bijective.

(et la recherche de la fonction réciproque peut se faire au brouillon, de toute façon si t'as trouvé la fonction réciproque c'est que tu as raisonné correctement , t' as pas pondu un truc par l'opération du saint esprit ou tout autre phenomene paranormal...)