Equation de Bernoulli

[inviteb5676b4f]

Bonjour a tous...

voila j'ai un petit problème pour mon devoir de math
J'ai l'équation suivante..

x²y''+3xy'+y=1/x² (E)

a étudier sur ]0,+infini[

Le titre de l'exercice étant Equation de bernouilli je pense qu'il faut utiliser cette méthode cependant je ne sais pas ce qu'est une equation de bernouilli ni meme la méthode pour en résoudre une...

Voila les indications de l'éxo

Soit y:I->R deux fois dérivables, et Y:R->R définie par Y(t)=y(exp(t))
a) calculer les derivées y y' et y" en fonction de Y,Y' et Y".
j'ai donc trouver

Y(t)= y(exp(t))
Y'(t)= exp(t)y'(exp(t))
et Y"(t)= exp(t)y'(exp(t)) + exp(2t)y"(exp(t))

Ensuite en question b on me dit en deduire que y est solution de E ssi Y est sol d'une équation différencielle linéaire d'ordre 2 a coefficient constant (E') que l'on précisera

j'en déduit donc que E' s'écrit : a Y"+ bY' +cY=D(t)

je trouve donc en remplacant Y" Y' et Y et en isolant y" y' et y :

a e^2t y"(e^t) + e^t y'(e^t) (a+b) + c y(e^t)= d(t)

on a donc par identification
a e^2t = x²
e^t (a+b) = 3x
c = 1
et d(t)=1/x²

( y a un truc qui me chagrine c'est qu'il y a des t et des x ne faudrait pas il mettre que des x ou que des t)

ce qui equivaut a dire que

a=x²e^-2t
b=3x e^-t - x² e^-2t
c=1
d(t)=1/x²

mais ici a b et c ne sont pas constants...... pourtant ne devrait-il pas censé l'être ?????

du coup par la suite je ne peux pas résoudre E',
et une fois que j'aurais résolut E' comment puis je en déduire les solutions de E sur I ??????

merci d'avance
-----

[invite57a1e779]

Bonjour

Il faudrait peut-être profiter de ce que l'on résout sur pour poser et utiliser dans tes calculs précédents.

[inviteb5676b4f]

c'est que j'ai ensuite fait j'obtiens

en utilisant que y verifie E:

Y"(lnx) + 2*Y'(lnx)+ Y(lnx) = 1/x²

car j'ai y(x)=Y(lnx)
y'(x)=1/x * Y'(lnx)
y"(x)= -1/x² * Y'(lnx) + 1/x² * Y"(lnx)

mais après je suis bloqué.... :s

[invite57a1e779]

Y"(lnx) + 2*Y'(lnx)+ Y(lnx) = 1/x²

Puisque , tu as en fait l'équation différentielle à coefficients constants .

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb5676b4f]

exact !!!!

merci bien et une fois que j'aurais les solutions de E' celle qu'on vient de definir je fais comment pour trouver les solutions de E je refais un changement de variable ?? en posant Y(t)=y(exp(t)) ???

( PS : j'adore ta signature !!!!! elle est tellement vrai et plutot fun !! )

[invite7c37b5cb]

Bonjour

Remarque:

x²y''+2xy'+xy'+y=1/x²

(x²y'+xy)'=1/x²

x²y'+xy=-1/x+c

[inviteb5676b4f]

suite aux calculs je trouve une équation caractérisque : x²+2x+1 = 0

d'ou une solution unique x=-1

donc la solution générale de l'équation homogène est : ( A + Bt ) e^-t

or -1 n'est pas racine de l'équation caractéristique d'ou une solution générale qui vaut Y0 = 3 e^-2t

donc solution de E' : S:{t->(A+Bt)e^-t + 3e^-2t}

pour en déduire les Equations de E l'équation de départ ( x²y"+3xy'+y=1/x² )
je pose Y(t)=y(e^t) ?????

je vois pas trop comment en déduire les solutions après ....

c'est pas evident bernoulli.... faut avoir la méthode.... faut le faire une fois quoi....

[invite57a1e779]

Ona effectivement posé (tu le dis dans ton premier message) , donc .

[inviteb5676b4f]

krikor j'ai pas tout compris a ta remarque.....

(x²y'+xy)'= 3xy'+x²y"+xy'......

mais je vois pas trop trop le rapport ??? en quoi ca peut nous aider ???

[inviteb5676b4f]

donc je repose ca pr deduire les solutions de E...

j'essaye

[inviteb5676b4f]

en effectuant le changement de variable en utilisant la solution de E'
Y(t)=(A+Bt)e^-t + 3e^-2t

je derive 2 fois Y(t) je remplace dans E' je fais un changement de variable avec Y(t)=Y(e^t) => Y(lnx)=y(x)

et je trouve un truc trop bisar

j'obtiens (1/x) *(2B-3+A+Bt) - 5/x²

or en faisant une identification des termes je devrais avoir
2B-3+A+Bt = 0 et - 5/x²=1/x² ce qui est absurde...... donc je vois pas j'arrive pas je tourne en rond....

[invite57a1e779]

en effectuant le changement de variable en utilisant la solution de E'
Y(t)=(A+Bt)e^-t + 3e^-2t

je derive 2 fois Y(t) je remplace dans E' je fais un changement de variable avec Y(t)=Y(e^t) => Y(lnx)=y(x)

et je trouve un truc trop bisar

j'obtiens (1/x) *(2B-3+A+Bt) - 5/x²

J'obtiens bêtement : .

[inviteb5676b4f]

ah !

Bah oui, enffet je cherchais bien compliqué pour pas grand chose !!!

effectivement c'est plutot con comme reponse !!

merci beaucoup God's Breath !!

c'est super gentil d'avoir répondu...

[invite7c37b5cb]

la solution est

y=(a+b*lnx)/x+1/x²

[invite7c37b5cb]

x²y''+2xy'+xy'+y=1/x²

(x²y'+xy)'=1/x²

x²y'+xy=-1/x+c

je note z=1/x

la solution generale: y=(a+b*lnx)/x+1/x²

[inviteb5676b4f]

.... tu pourrais devellopé un peu ???? stp

[invite7c37b5cb]

bonsoir!

x²y''+2xy'+xy'+y=1/x²

x²y''+2xy'+xy'+y=d(x²y'+xy)=1/x²

int d(x²y'+xy)=intdx/x²

x²y'+xy=-1/x²+k; k=const.

1) x²y'+xy=0; ..... y°=c/x

2) solution particulière

yp=c(x)/x; y'p=(c'x-c)x²;.....

dc(x)/dx=-1/x^3+k/x

c(x)=1/(2x²)+klnx+c1

yp=1/(2x^3)+k/x*lnx

y=C/x+1/(2x^3)+k/x*lnx

j'ai vèrifier la réponse!ok!

[invite57a1e779]

bonsoir!

x²y''+2xy'+xy'+y=1/x²

x²y''+2xy'+xy'+y=d(x²y'+xy)=1/x²

int d(x²y'+xy)=intdx/x²

x²y'+xy=-1/x²+k

[invite7c37b5cb]

bonsoir Gods Breath!
Vous avez raison, j'ai pas fait attention.

[invite7c37b5cb]

Bonsoir

Vous avez raison,j'ai pas fait attention.