fonction continue

[invitea28e5912]

Bonjour,

je voudrai une explication sur un exercice
la question etait : montrer que les seules application s continues de R dans Z sont les applications constantes

soient x1 et x2, x1<x2
l'image de l'intervalle [x1,x2] est continue car f continue
or l'image de l'intervalle [x1,x2] est inclus dans Z
donc l'image de l'intervalle [x1,x2] est un singleton donc f constante

j'aimerai savoir pourquoi on peut deduire du faite que l'image de l'intervalle est inclus dans R que c'est un singleton

merci d'avance pour votre aide
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[invite7ffe9b6a]

Bonjour
On a une fonction continue
On sait alors que d'après la théorème des valeurs intermédiaire que
f(R) est un intervalle.

Maintenant qu'est ce qu'un intervalle dans Z?

[invitea28e5912]

c'est un intervalle fermé

[invite7ffe9b6a]

non
I est un intervalle veut dire que

si x<y sont dans I
alors tous les z tels que x<z<y sont dans I.

Alors maintenant , supposons par l'absurde que les intervalles de Z ne soient pas tous des singletons.
Alors il existe un intervalle I dans Z qui possèdent au moins 2 élements.
Mais maintenant, puisque I est dans Z il ne contient que des entiers.

Prenons alors un entier a et un entier b dans l'intervalle I
alors tous les z tels que a<z<b sont aussi dans I, donc dans Z.
or si on prend

on vérifie que on a bien a<z<b donc que z est dans I mais ce z n'est clairement pas dans Z.
Absurde...

Tous les intervalles de Z possèdent alors au maximum un élement, donc sont des singletons.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea28e5912]

je voulais dire que Z est un intervalle ferme

[invite7ffe9b6a]

Z n'est pas un intervalle.
En revanche si on le regarde depuis R(avec la topologie usuelle) l'ensemble Z est fermé.
Mais c'est de la topolgie après....