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fonction continue



  1. #1
    Popo037

    fonction continue


    ------

    Bonjour,

    je voudrai une explication sur un exercice
    la question etait : montrer que les seules application s continues de R dans Z sont les applications constantes

    soient x1 et x2, x1<x2
    l'image de l'intervalle [x1,x2] est continue car f continue
    or l'image de l'intervalle [x1,x2] est inclus dans Z
    donc l'image de l'intervalle [x1,x2] est un singleton donc f constante

    j'aimerai savoir pourquoi on peut deduire du faite que l'image de l'intervalle est inclus dans R que c'est un singleton

    merci d'avance pour votre aide

    -----

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  4. #2
    Antho07

    Re : fonction continue

    Bonjour
    On a une fonction continue
    On sait alors que d'après la théorème des valeurs intermédiaire que
    f(R) est un intervalle.

    Maintenant qu'est ce qu'un intervalle dans Z?

  5. #3
    Popo037

    Re : fonction continue

    c'est un intervalle fermé

  6. #4
    Antho07

    Re : fonction continue

    non
    I est un intervalle veut dire que

    si x<y sont dans I
    alors tous les z tels que x<z<y sont dans I.

    Alors maintenant , supposons par l'absurde que les intervalles de Z ne soient pas tous des singletons.
    Alors il existe un intervalle I dans Z qui possèdent au moins 2 élements.
    Mais maintenant, puisque I est dans Z il ne contient que des entiers.

    Prenons alors un entier a et un entier b dans l'intervalle I
    alors tous les z tels que a<z<b sont aussi dans I, donc dans Z.
    or si on prend

    on vérifie que on a bien a<z<b donc que z est dans I mais ce z n'est clairement pas dans Z.
    Absurde...

    Tous les intervalles de Z possèdent alors au maximum un élement, donc sont des singletons.

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  8. #5
    Popo037

    Re : fonction continue

    je voulais dire que Z est un intervalle ferme

  9. #6
    Antho07

    Re : fonction continue

    Z n'est pas un intervalle.
    En revanche si on le regarde depuis R(avec la topologie usuelle) l'ensemble Z est fermé.
    Mais c'est de la topolgie après....

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