Bonjour,
Je suis en train de construire un cadran solaire et j’aurais besoin de vos lumières pour vérifier que l’ombre projetée par le style a été bien calculée. En effet, sur un an, la trace de l’ombre de la pointe du style donne une trajectoire quelque peu différente de ce qui est prédit par ce site http://cadrans_solaires.scg.ulaval.c...pdf/fabric.pdf. Sur ce site québécois, la trace de l’ombre de la point de style est une droite pour une heure donnée au long de l’année. Pour moi, cette trace ressemble plus à un 8 allongé (cf. l’image).
On pose :- Le soleil S est le centre du repère fixe :o ( S , x := (1,0,0) , y := (0,1,0) , z := (0,0,1) )- Un repère tournant autour de z à la vitesse de révolution de la Terre autour du soleil (un tour en 365 jours):o xr := cos(2*Pi*t/an)*x+sin(2*Pi*t/an)*y
o yr := cos(2*Pi*t/an)*y-sin(2*Pi*t/an)*x
o zr := z
o an := NombreJour*jour
o NombreJour := 365
o Jour := 24*3600 (en secondes)- La Terre T est dans la direction de xr :o T := S + DistanceTerreSoleil*xr
o DistanceTerreSoleil := 149597887500 (en mètres)- Un repère fixe dans (x,y,z) et incliné autour de y de l’obliquité de la Terre (inclinaison de l’axe de rotation de la Terre par rapport à z) :o xobl := cos(2*Pi*Obliquite/360)*x+sin(2*Pi*Obliquite/360)*z
o yobl := y
o zobl := cos(2*Pi*Obliquite/360)*z-sin(2*Pi*Obliquite/360)*x
o Obliquite := 23+26/60 (en degrés)- Un repère tournant dans (xobl,yobl,zobl) autour de zobl pour simuler la rotation de la Terre ; de façon à ce que le soleil soit toujours au Sud à midi, on fait l’hypothèse qu’au cours d’une révolution, la Terre fait NombreJour+1 rotations :o uobl := cos(2*Pi*t/jour*(NombreJour+1)/NombreJour)*xobl +sin(2*Pi*t/jour*(NombreJour+1)/NombreJour)*yobl
o vobl := cos(2*Pi*t/jour*(NombreJour+1)/NombreJour)*yobl sin(2*Pi*t/jour*(NombreJour+1)/NombreJour)*xobl
o wobl := zobl- Un repère fixe dans (uobl,vobl,wobl) et incliné autour de vobl pour simuler la latitude :o u := cos(2*Pi*Latitude/360)*uobl+sin(2*Pi*Latitude/360)*wobl
o v := vobl
o w := cos(2*Pi*Latitude/360)*wobl-sin(2*Pi*Latitude/360)*uobl
o Latitude := 47.535 (en degrés)- Le point M simulant le pied du style :o M := T + RayonTerre*u- La pointe P du style (parallèle à l’axe de rotation de la Terre) :o P := M + LongueurStyle*wobl
o LongueurStyle := 0.5 (en mètres)- L’ombre de la pointe du style :o Projete := [X,Y,Z] (coordonnées dans (x,y,z))
Ensuite, on fait les hypothèses suivantes :- u (la normale au plan horizontal en M) est perpendiculaire au vecteur MProjete :o Equation1 := dotprod(Projete-M,u) = 0 (dotprod est le produit scalaire dans Maple)- Le vecteur formé par la pointe du style P et son ombre Projete est colinéaire avec xr (en choisissant la colinéarité avec xr, on néglige le rayon terrestre par rapprt à la distance Terre-soleil) :o Equation2 := dotprod(Projete-P,x) = dotprod(lambda*xr,x)
o Equation3 := dotprod(Projete-P,y) = dotprod(lambda*xr,y)
o Equation4 := dotprod(Projete-P,z) = dotprod(lambda*xr,z)
Enfin, on résout ces 4 équations en cherchant X, Y, Z et lambda.
Je voulais savoir si le problème est bien posé, si je ne fais pas d’erreur de raisonnement.
Si ça intéresse des gens, je peux mettre les solutions trouvées par Maple. Sinon, pour information, ce qui est affiché dans l’image jointe est la position de l’ombre de la pointe du style pour toutes les heures de 6h00 à 18h00 dans le plan (M,v,w) (l’abscisse est la projection de (X,Y,Z)-M sur v et l’ordonnée la projection du même vecteur sur w).
Merci à vous par avance.
Cedbont
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