Bonjour, j'ai fait cet exercice mais je ne sais pas si le résultat est correct, pouvez vous me relire svp?
Je vous remercie d'avance
On cherche à optimiser la fonction φ(x,y,z)=xyz+ln(1+x^2 )-z²
a) Déterminez les points candidats à l'optimum
b) Déterminez la hessienne en tout point. Puis déterminez les valeurs propres de la hessienne aux points candidats.
c) Pour quels points candidats les conditions du second ordre permettent-elles de conclure ? Quelle est alors la nature de ce point ?
d) La fonction φ admet-elle un maximum global ? un minimum global ? (Justifiez)
Voici ce que j'ai commencé :
φ(x,y,z)=xyz+ln(1+x^2 )-z²
a) CN1 :
∂φ/∂x(x,y,z) = yz+2x/(1+x²)=0
∂φ/∂y(x,y,z)= xz=0
∂φ/∂z(x,y,z)= xy-2z=0
donc
y*1/2xy+2x/(1+x²)=0
x*1/2xy = 0
z= 1/2xy
1/2xy²+2x/(1+x²)=0
1/2 x²y = 0
z=1/2xy
il y a une infinité de point candidat (0,y,0)/yIR
b) CS2
∂^2 φ/(∂x^2 )(x,y,z) = (2-2x²)/(1+x^2)²
∂²φ/∂y²(x,y,z) = 0
∂²φ/∂z²(x,y,z) = -2
(∂^2 φ)/∂x∂y(x,y,z) = z
(∂^2 φ)/∂x∂z(x,y,z) = y
(∂^2 φ)/∂y∂z(x,y,z) = x
D² φ (x,y,z) = ((2-2x²)/((1+x^2)² z y)
(z 0 x)
(y x -2)
Aux points (0,y,0)/yIR
D² φ (0,y,0) = (2 0 y)
(0 0 0)
(y 0 -2)
c) Calcul des valeurs propres :
D² φ (0,y,0) = (2-λ 0 y)
(0 -λ 0)
(y 0 -2-λ)
(2-λ)(-λ)(-2-λ)+y²λ
= λ[(2-λ)(2+λ)+y²]
=λ(4-λ²+y²)
λ1 =-4+y²<0
λ2=0
λ=4+y²>0
Les valeurs propres sont de signes opposés donc la matrice est indéfinie, les points (0,y,0)/yIR sont des points selle.
d) Non, la fonction φ n'admet ni de maximum ni de minimum car il n'y a pas de point candidat qui soit un maximum ou un minimum.
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