test du khi-deux

[quentino]

Bonjour voici un énoncé dont je l'ai entièrement résolu mais j'ai juste quelques questions de compréhension, dont une concernant la conclusion final, qui ne me sont pas clair. Pouvez-vous m'éclaircir.
merci

Pour tester l'efficacité d'un nouveau sérum , on partage au hasard un groupe de 200 personnes atteintes d'une même maladies, en deux groupes A et B de 100 individus.
Pour A, on administre le sérum, et on constate 75 guérisons. Pour B, on administre un placebo ,et on constate 65 guérisons.
Avec un niveau de signification de 95%,tester l'hypothèse que le sérum est une aide efficace pour la guérison.

résolution:

A B total
guérison 75 65 140
malade 25 35 60
total 100 100 200

Sur 200 personnes,140 guérissent:70%
sur 200 personnes, 60 sont malades:30%

Je peux calculer la fréquence théorique:
A: guérie:70% de 100=70
malade:30
B: idem
donc khi carré (X²)= (75-70)²/70+(...)=2.38
degré de liberté: v=(k-1)x(k-1)=1 (je ne comprend pas pourquoi ce n'est pas v=(k-1) avec k=2)
via ma table ( valeurs des centiles pour la distribution du khi-deux en fonction du degré de liberté)je constate que X²(de 0.95)=3.84 valeur la plus proche de 2.38 (je ne comprend pas pourquoi car moi j'aurai pris X²(0.9)=2.71)
et ensuite je constate que 2.38<3.84 et là on me dit qu' on ne peux pas dire que le sérum est efficace hors 2.38 se trouve dans les 95% c-a-d dans le niveau de confiance donc j'ai envie de conclure que le sérum est efficace puisqu'il se trouve dans le niveau de confiance.
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[gg0]

Houla, quel mélange !

Je commence par la fin : Le khi-deux calculé est entre 0 et le khi-deux théorique, donc dans la zone de non rejet de l'hypothèse. On ne peut donc pas rejeter l'hypothèse.
Or ce que tu as pratiqué, c'est un test de l'hypothèse que le facteur "sérum" n'est pas influent sur la maladie. En fait, plus globalement, que la répartition des individus entre les groupes et les situations (malade ou guéri) se fait de façon indépendante.

Pour ma part, je n'aurais pas fait ce test-là, mais une comparaison de fréquence entre le groupe témoin (B) et le groupe traité (ce qui revient à un khi-deux entre les deux colonnes de ton tableau). mais le résultat aurait probablement été le même.

Le reste : Pour les ddl, on compare un tableau de 2x2 cases à un tableau théorique de même taille. Le ddl 2-1=1 aurait été fait si on avait comparé la colonne A à la colonne B.
Pour l'autre question, la confiance étant de 95%, on prend la valeur correspondante du Khi-deux (Pourquoi ce 90% ,,).

Cordialement.

[quentino]

Donc si je comprend bien on peut dire qu'après avoir calculé khi-deux, que si sa valeur se retrouve entre 0 et khi-deux théorique c-a-d dans la zone 95%(zone de confiance) alors on peut dire qu'il se retrouve dans la zone de non rejet de l'hypothèse. Et donc au-delà de khi-deux théorique on rejette l'hypothèse.
Quant au ddl je n'ai pas très bien compris ce que vous m'avez expliqué mais dans l'exemple le k=2 non?

[gg0]

Désolé, je ne comprends pas.

Mais l'idée des ddl est celle-ci : A partir du modèle, on construit un tableau de valeurs modèle. Si ce tableau a n lignes et m colonnes, on le construit à partir du tableau identique de la variable réelle, en utilisant les marginales (sommes par lignes, sommes par colonnes). Construisons-le par lignes. Pour la première ligne, on peut (*) choisir m-1 nombres comme on veut, car le m-ième est imposé par la connaissance de la somme des valeurs de la ligne. On a donc m-1 libertés. Idem pour la deuxième ligne, la troisième, ...la n-1-ième. Pas la n-ième, car dans chaque colonne on connaît tous les nombres sauf 1 et la somme. Donc le nombre de la dernière ligne est fixé. Finalement, on a (n-1)(m-1) libertés de choix.
par exemple pour ton tableau :
75 65
25 35
on prend un modèle, avec dans la première case 60 :
60 ?? 140
?? ?? 60
100 100
Pour que le total de la première ligne fasse 140, on doit mettre 80 à droite du 60. De même, pour que les totaux des colonnes fassent 100, il faut une deuxième ligne 40 et 20. Donc on ne peut décider que la valeur d'une case (celle queon veut).

Par contre, pour un tableau d'une seule ligne, il n'y a pas de total par colonne (pas de colonne !). Donc on a n-1 libertés (à priori - Il y a des cas où d'autres choses sont imposées au modèle, mais tu ne le rencontreras pas).

Cordialement.

(*) si on veut construire tous les modèles possibles.

[A voir en vidéo sur Futura]