Solution(s) sans problème(s) ... ?

[invité6735487]

Bonjour, existe-t-il des solutions qui sont en dehors de la résolution d'une équation à inconnue(s) ? Je veux dire peut-on inventer des solutions non analytique !

@ +
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[Amanuensis]

Est-ce que ce nombre : http://fr.wikipedia.org/wiki/Om%C3%A9ga_de_Chaitin, répond à votre question ?

[invite76543456789]

Salut!

Bonjour, existe-t-il des solutions qui sont en dehors de la résolution d'une équation à inconnue(s) ? Je veux dire peut-on inventer des solutions non analytique !

@ +

Non, tout nombre est solution d'une equation polynomiale (y en a une tres simple).
Apres si tu t'impose des restrictions sur les coeff d'une telle equation alors là oui, y a des nombres qui en general y echappent.

[Amanuensis]

Apres si tu t'impose des restrictions sur les coeff d'une telle equation

Une naturelle, vue la question, est qu'on sache exprimer ces coefficients sans y entrer le nombre ! Ce qui élimine la "une très simple", par exemple.

[C'est à mettre en parallèle avec la remarque assez pertinente que dire qu'on a résolu l'équation en x en disant qu'elle a comme solution et est un joli sophisme, même si très courant...]

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

Non, tout nombre est solution d'une equation polynomiale (y en a une tres simple).
.

non,
as tu entendu parler des nombres transcendentaux par exemple.
je te defie de trouver une equation polynomiale dont pi ou e par exemple est une des solutions;

[toothpick-charlie]

la miss pensait sans-doute à ces équations : x-pi=0 et x-e=0

[Médiat]

Non seulement toothpick-charlie a raison, mais MissPacMan avait anticipé en précisant :

Apres si tu t'impose des restrictions sur les coeff d'une telle equation alors là oui, y a des nombres qui en general y echappent.

Autrement dit la question devrait être reformulé avec plus de soin.

[HS] : le pseudo toothpick-charlie, c'est un hommage à "Certains l'aiment chaud" ?
[/HS]

[Amanuensis]

la miss pensait sans-doute à ces équations : x-pi=0 et x-e=0

C'est ce que j'ai interprété aussi.

[ansset]

ok, je me suis fait balader , au temps pour moi

mais j'ai du mal à considérer x-e=0 soit x=e comme une "équation" à résoudre.

[Médiat]

Bonjour,

mais j'ai du mal à considérer x-e=0 soit x=e comme une "équation" à résoudre.

Vous préférez x² -(3+e)x + 3e = 0 ?

[ansset]

oki, je m'incline
d'ailleur on peut aussi écrire , quel que soit n
(x-e)^n =0

[Amanuensis]

ok, je me suis fait balader

Pas par le primo-posteur, dont on n'a pas à penser qu'il avait, non plus, en tête des équations dans lesquelles on entre la solution dans des coefficients.

Maintenant, une équation n'est pas nécessairement polynomiale. Par exemple peut être vu comme la plus petite solution strictement positive de , et ne devrait donc pas répondre à ce que semble demander le primo-posteur.

[Médiat]

oki, je m'incline
d'ailleur on peut aussi écrire , quel que soit n
(x-e)^n =0

Même pour n = 0 ou n = -1 ?

Pour être plus sérieux, je voulais juste faire apparaître que la notion de "nombre algébrique" est une bonne notion, mais qu'elle a besoin d'un cadre, d'ailleurs, en disant "nombre algébrique", on ne sait pas de quoi je parle, par habitude on peut penser que je fais allusion a des algébriques dans une extension de , mais laquelle ? (Au moins et , sont des candidats légitimes).

[ansset]

bien sur,
mais la reponse purement polynomiale de miss m'a fait réagir un peu trop vite.
car c'est un peu comme ça qu'on explique la différence entre irrationnels et transcendentaux aux élèves.

[toothpick-charlie]

je ne sais pas si c'est à ce genre de choses que pensait astromoteur, mais peut-être peut-on citer les quaternions, qui si j'en crois Dieudonné ont été inventés par Hamilton par pur goût de la généralisation, donc qui ne répondaient pas à leur création à un problème insoluble avec les nombres existants (contrairement aux nombres négatifs (x+1 = 0), rationnels (2x = 0), réels (x^2-2 = 0) ou complexes (x^2+1= 0))

[Médiat]

je ne sais pas si c'est à ce genre de choses que pensait astromoteur, mais peut-être peut-on citer les quaternions, qui si j'en crois Dieudonné ont été inventés par Hamilton par pur goût de la généralisation, donc qui ne répondaient pas à leur création à un problème insoluble avec les nombres existants (contrairement aux nombres négatifs (x+1 = 0), rationnels (2x = 0), réels (x^2-2 = 0) ou complexes (x^2+1= 0))

Hamilton cherchait bien à généraliser les complexes (dimension 2, comme le plan) à la dimension 3 comme l'espace spatial, de son échec naquirent les Quaternions.

Mais on peut toujours dire que les quaternions possèdent des éléments différents de i et -i, mais solution aussi de , ce qui rend leur "nécessité" tout à fait équationnelle.

[ansset]

Même pour n = 0 ou n = -1 ?
.

dans mon esprit c'était éffectivement n>0
maintenant , tu peux t'amuser soit à chercher à me ridiculiser.
xxxxxxxxx Inapproprié xxxxxxxxxx

[invité6735487]

Autrement dit la question devrait être reformulé avec plus de soin.

Voilà, je crains de ne pouvoir apporter plus de rigueur dans ce que j'essayais de formuler n'étant plus très au fait de la formulation mathématique !

[invite76543456789]

Comme dit precedement ca depend essentiellement de ce que tu autorise comme opération et du corps sur lequel tu te place.
Si une fois donné les coefficients tu t'autorise a extraire des racines de ceux ci, alors en general non tu n'auras pas toutes les solutions a toutes les equations polynomiales. Des fois si, sur R par exemple, ca marche, en fait c'est essentiellement le seul cas ou ca marche (je ne sais plus que qui est ce resultat... artin?).
Sur d'autre corps, Q par exemple, non tu ne pourras pas construire toutes les solutions en extrayant des racines des coefficients. Si tu t'autorise a utiliser plus de choses que la simple extraction de racines alors tu auras plus d'equation resolubles... les quintiques sont resolubles avec des fonctions modulaires (dans le cas general on ne sait toutefois pas quels outils il faut ajouter pour pouvoir resoudre de telles equations cf Kronecker Jugendraum).

[martini_bird]

Bonjour, existe-t-il des solutions qui sont en dehors de la résolution d'une équation à inconnue(s) ? Je veux dire peut-on inventer des solutions non analytique !

@ +

Salut,

pour changer du sujet des équations polynômiales (bien comprises car relevant de structures algébriques sympathiques, mais qui demeurent des cas particuliers), il me semble bon de rappeler que l'on ne résoud jamais une équation qu'en fixant au préalable les règles du jeu : en effet, et même si c'est souvent implicite, les énoncés supposent que l'on résoud une équation sur un ensemble de nombres bien déterminé (qu'il s'agisse d'un corps ou non, d'ailleurs).

Cordialement.