Bonjour,
Si une variété M est munie d'une métrique pseudo-Riemannienne g alors elle admet une unique connexion appellée connexion de Levi Civita (sans torsion et compatible avec g). ceci n'est pas vrai si g dégénère alors, pouvez vous m'expliquer pourquoi et où apparait la non dégénerence de la démonstration de la première proposition. J'aimerai bien comprendre c'est quoi une connexion ituitivement(sans formule
Merci beaucoup
Salut!
Une connexion (de levi civita ou non) c'est un moyen de dériver des sections. A priori dériver une section d'un fibré c'est pas possible. Les dérivations définies localement ne se recollent pas. Il faut donc rajouter qqch en plus qui permet de recoller, c'est la connexion.
Le fait que la métrique soit non degenré te définit un pairing parfait entre chaque espace tangeant, du coup tu peux definir la connexion (ou la dérivée covariante) en donnant simplement le resultat de l'action de g(\nabla_XY,.) ce qui definit parfaitement nabla_XY, si la métrique était non dégénrée, \nabla_XY ne serait définit qu'à un element du noyau pres.
Je vais me permettre de rajouter un peu de liaison entre la question et la première réponse :
Le fibré en question est le tangent, la somme disjointes des espaces tangents, un en chaque point de la variété.
On parle de variétés différentielles, ce qui permet de définir en chaque point d'une variété un espace vectoriel tangent, qu'on peut voir intuitivement comme les "vitesses" possibles de courbes paramétrées passant par le point.
Avec cette manière de voir une connexion sur le fibré tangent d'une variété différentielle permet de parler d'une "accélération", c'est à dire comment se modifie le vecteur tangent d'une courbe paramétrée le long de la courbe.
Dernière modification par Amanuensis ; 04/10/2012 à 09h18.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Heu je comprends pasEnvoyé par Amanuensis
, le fibré tangeant n'est pas la somme disjointe de ses fibres (il est connexe sur une base connexe).
Croyant naïvement éviter tout risque de ce genre de réponse (on commence à avoir l'habitude), j'ai pris la définition proposée par le Wiki :Heu je comprends pas
"En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, le fibré tangent TM associé à une variété différentielle M est la somme disjointe de tous les espaces tangents en tous les points de la variété (...)"
Cf. http://fr.wikipedia.org/wiki/Fibr%C3%A9_tangent
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Salut,
Je connaissais par ailleurs aussi cette définition, mais une somme disjointe est-elle forcément non connexe ? (ça dépend de la topologie, non ?)
Des explications seraient bienvenue car il y a là quelque chose qui m'échappe !!!
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
C'est pourtant faux (ou alors la somme disjointe ensembliste... ), la topologie dessus n'est pas la topologie de la somme disjointe.
Quant au reste de votre commentaire... je ne sais comment l'interpreter.
Dernière modification par invite76543456789 ; 04/10/2012 à 09h47.
La somme disjointe de deux variétés est toujours non connexe oui. Puisque la reunion disjointe s'ecrit comme... la réunion disjointe des deux morceaux que l'on reunit. Chacun étant ouvert car leurs image reciproques sont ouvertes. Voir ici pur les defintions.
C'est assez simple : une fois de plus, quelqu'un pose une question montrant la volonté de surmonter une incompréhension, et la discussion part dans une direction a priori sans intérêt pour la personne qui a posé la question.
Je juge la première réponse non pédagogique, parce que manquant de détails clé selon mon interprétation de la question originelle. J'essaye de pallier ce défaut que je crois discerner, et en résultat la discussion part en détails mathématiques essentiellement hors sujet selon mon analyse de la question d'origine.
Et apparemment je suis le seul à intervenir pour revenir un peu sur terre et s'occuper de la question posée.
Si le "patch" que je proposais message #3 est améliorable, merci (pour le primo-posteur) de l'améliorer en fonction du but de mon message #3, c'est à dire aider l'auteur du message #1.
Dernière modification par Amanuensis ; 04/10/2012 à 09h55.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Bonjour,
Merci de ne pas juger des interventions des uns ou des autres, si vous avez un résultat mathématique à opposer à MissPacMan, ou à qui que ce soit d'autre, merci de vous restreindre aux arguments mathématiques.
Médiat, pour la modération
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour
Je vais essayer. Mais, en ce qui me concerne, je traite ces questions en physicien, voire, en ingénieur !! Pour moi, un espace, (peut être, peut-on le qualifier de "variété différentielle") est défini par des points, repérés dans un système de coordonnées, en général curvilignes: la métrique (habituellement, il y en a une, bien qu'on puisse généraliser) est une forme quadratique: ds2 = gikdxidxk où gik sont les composantes (covariantes) d'un tenseur du second rang: le "tenseur métrique". Ce sont des fonctions des coordonnées. Exemple: les coordonnées polaires sphèriques dans l'espace euclidien classique à 3 dimensions: ds2=dr2+r2sin2phi.cos2theta+r2sin2phi.sin2theta. En chaque point, se trouve associée une base vectorielle comprenant autant de vecteurs qu'il y a de dimensions. Généralement, ces vecteurs sont tengeants aux lignes de coordonnées passant par le point considéré. C'est "la base naturelle", habituellement utilisée parce que c'est la plus simple (sans diminuer la généralité) mais, bien sûr, on peut utiliser un formalisme dit "tétrade" nettement plus compliqué et réservé à des traitements particuliers. Maintenant, comme les vecteurs de la base varient d'un point à un autre, on ne peut pas calculer la dérivée d'un champ de vecteurs (ou de tenseurs) en dérivant purement et simplement les composantes (sauf dans le cas de "différentielles extérieures", par exemple: le rotationnel). Il faut définir la façon dont les vecteurs, associés à un point infiniment voisin d'un point donné, s'expriment dans la base attachée à celuicin a: dei = omégaijej Les coefficients oméga sont des formes différentielles linéaires des dxi. Les coefficients de ces formes, qui sont des fonctions des coordonnées (il y en a n3, à priori, pour n dimensions) sont:"les composantes de la connexion affine". On démontre qu'ils s'expriment au moyen des composantes du tenseur métrique et de leurs dériivées premières, par rapport auxquelles ils sont linéaires. Si l'espace comporte un "vecteur de jauge" (qui définit la manière dont l'étalon de longueur varie en passant d'un point à un autre. espaces de Hermann Weyl), il s'ajoute des termes complémentaires, linéaires par rapport aux composantes du vecteur de jauge. Si, en plus il y a un "tenseur de torsion", intriduit par Èlie Cartan, il s'ajouite encore d'autres termes. La RG se contente de la connexion affine standard entièrement définie à partir des dérivées partielles du tenseur métrique. Maintenant, puisque, à priori, il ne semble pas y avoir de différence entre un espace de Riemmann et un espace euclidien représenté en coordonnées curvilignes, il faut gratter un peu plus le salsifi!! On définit et calcule (sans problème !) le "tensuer de courbure" qui est identiquement nulle dans le cas d'un espace euclidien et se calcule avec les dérivées partielles de la connexion affine. Je précise que, dans les formules écrites cidessus, j'ai appliqué la "convention d'Einstein" qui consiste à donner aux indices répétés en haut et en bas d'un terme général, toutes les combinaisons de valeurs possibles et à en faire la somme.
En espérant avoir aidé à éclaircir (plutôt qu'à embrouiller !!!)
Cordialement.
Ne jetez pas l’anathème : il peut servir !
Ben oui, sinon on ne dirait pas disjoint. Je suis parfois très nul.La somme disjointe de deux variétés est toujours non connexe oui. Puisque la reunion disjointe s'ecrit comme... la réunion disjointe des deux morceaux que l'on reunit
Merci (et désolé, je n'avais pas vu tout de suite qu'il y avait une réponse)
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Faut quand meme se mefier des termes, les gens sont parfois retors! N'oublions pas qu'un operateur borné est un cas particulier d'opérateur non borné (dans le genre misnomer!)!
Pour apporter une réponse peut etre plus circonstanciée. Supposons que vous ayez une courbe et un fibré en droite dessus. Prenez deux ouverts de votre surface qui trivialise votre fibré, d'intersection non vide. Soit h disons la fonction de transition de l'un a l'autre.
Autrement dit vous avez U un ouvert de R, disons U=R, et h une fonction de R dans R tel que la transition soit donné par (x,t)->(x,h(x)t) avec h(x) non nul.
Une section est alors donné par une fonction, disons s, tel que x->(x,s(x)), dans l'autre carte vous avez une section donnée par x->(x,q(x)). Avec bien sur (x,q(x))=(x,h(x)s(x))
Vous voulez deriver cette cette section, naturellement l'idée naturelle est de poser comme dérivée s'(x)=(x,s'(x)) et pareillement q'(x)=(x,q'(x)), or vous voyez bien que la relation s(x)=h(x)q(x) se dérive en s'(x)=h'(x)q(x)+h(x)q'(x) et donc les sections "dérivées" ne se correspondent plus par changement de carte. Le terme h'(x)q(x) est en trop. Il faut donc altérer (mais pas trop) notre notion de dérivée pour que les choses se recollent bien.
C'est ce que fait la notion de connexion. Il nous faut definir un Ds(x) (je note D plutot que Nabla plus penible a écrire) qui ait les bonnes propriétés d'une dérivation (a savoir la règle Liebniz). C'est ce point de vue là qui donne la défintion d'un connexion.
Il se fait que si vous rajouter les hypotheses que vous connaissez alors vous etes assuré de l'existence et l'unicité d'un tel D.
Dernière modification par Médiat ; 04/10/2012 à 20h30. Motif: A la demande de l'auteur
Salut,
Merci pour tous ceux qui ont inerveunu dans cette discussion. En fait, je ne suis pas très convaincu je vien de lire que la connexion de Levi cevita existe sur une variété dégénérée ssi le noyeau de la métrique est une distribution de Killing
est-ce quelqu'un peut m'expliquer pourquoi sur un exemple
je suis débutant en géométrie alors, tous détail et toute réponse me fera plaisir
Merci à tous
Tu demandes qqch de légèrement different, tu veux prouver que une connexion "levi civita" existe meme dans le cas où la métrique est dégénérée à condition que le noyau de la métrique soit une distribution de Killing.
Ca me parait vrai et un sens me parait facile à faire (le fait que la métrique existe implique noyau qui soit killing)... Je vais reflechir à la question.
Bon je confirme qu'un sens est evident, il suffit de l'ecrire (c'est un bon exercice, tu devrais le faire).
Pour le fait que le noyau soit une distribution de killing implique l'existence d'une telle connexion... Ca me parait probable aussi, mais je doute que ca soit facilement accessible a qqun qui débute en géométrie.
J'essaierai de chercher un contre exemple simple, où ca ne fonctionne pas.
Bon j'ai trouvé un contre exemple (en m'aidant du theoreme cité ci dessus)
Prend R3 et son fibré tangeant, et la ditribution que tu regardes c'est celle donnée par les champs de vecteurset
Tu peux verifier que ce truc là n'admet pas de connexion sans torsion qui respecte la métrique (si je ne me suis pas viandé dans mes calculs).
