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Preuve du th. de Beppo Levi



  1. #1
    Romain-des-Bois

    Preuve du th. de Beppo Levi


    ------

    Bonjour,

    j'ai une preuve du théorème de Beppo-Levi (CV monotone) dans mon cours, et elle me semble compliquée... Pourtant, il me semble avoir trouvé une preuve plutôt plus simple...

    Je vous l'expose.
    est une suite croissante de fonctions mesurables positives.

    Il est facile de voir que la limite simple de cette suite est mesurable et positive. Il reste à montrer que si on note cette limite simple, on a :
    quand n tend vers l'infini

    On a déjà que pour tout t, d'où .

    Pour l'autre inégalité.
    Par définition de l'intégrale sur l'ensemble des fonctions mesurables positives :


    Soit une fonction simple telle que .
    Comme prend un nombre fini de valeurs, il existe un entier tel que pour tout , on a .

    S'il faut détailler :
    Si prend une valeur non-nulle sur les avec .
    Soit . Alors, pour tout , on a . La croissance de la suite vers m'assure l'existence d'un tel que pour tout , pour tout , .
    Si je pose , alors j'ai bien pour tout , on a .

    Alors, pour tout , on a
    On passe à la limite :
    On passe au Sup sur les fonctions telles que... :


    Et on a l'égalité !

    Je vous remercie de vos commentaires.

    Romain

    -----
    Dernière modification par Romain-des-Bois ; 25/07/2008 à 14h38. Motif: erreurs latex

  2. #2
    Romain-des-Bois

    Re : Preuve du th. de Beppo Levi

    J'ai fait une petite erreur sur la fin :
    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Alors, pour tout , on a
    On passe à la limite :
    On passe au Sup sur les fonctions telles que... :
    Là, c'est mieux !

  3. #3
    God's Breath

    Re : Preuve du th. de Beppo Levi

    Bonjour Romain,
    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message

    Soit une fonction simple telle que .
    Comme prend un nombre fini de valeurs, il existe un entier tel que pour tout , on a .

    S'il faut détailler :
    Si prend une valeur non-nulle sur les avec .
    Soit . Alors, pour tout , on a . La croissance de la suite vers m'assure l'existence d'un tel que pour tout , pour tout , .
    Le fait que ne dépende pas de , ce ne serait pas de la convergence uniforme ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #4
    Romain-des-Bois

    Re : Preuve du th. de Beppo Levi

    Salut God's Breath,

    et oui, je crois que tu as bien raison, j'ai esquivé une difficulté...

    donc à partir d'un certain rang, les , ce qui n'est pas vrai sur tout ...

    Donc, ça ne marche pas !

    Merci pour ton aide !

    EDIT : en fait, oui, si c'était une convergence uniforme, ça marcherait ! J'ai voulu aller trop vite !
    Dernière modification par Romain-des-Bois ; 25/07/2008 à 20h11.

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