Bonjour,

J'ai noté, sur un coin d'un de mes cours, le résultats suivants : soit (E,d) un espace métrique et x dans E, alors : .

Je voudrais être sûr de ce résultat. Est-ce que la démonstration suivante est correcte :

Si x est isolé, alors il existe un voisinage V de x dans E tel que . Il existe donc une boule ouverte, de centre x, de rayon e >0, telle que B(x, e) soit incluse dans V. On en déduit que , d'où et est ouvert.

Réciproquement, si est ouvert, alors il existe e > 0 telle que la boule ouverte B(x,e) = {x}. Donc et x est isolé.

Est-ce que c'est correct ?

Merci.