Ensemble ni ouvert ni fermé

[invited3804c53]

Bonjours a tous je dois montrer si l'ensemble suivant et ouvert,fermé ou ni l'un ni l'autre.
D={(x dans R), tel que x entre dans (Q inter [0,1])}

Je pense que cette ensemble est ni ouvert ni fermé, car il me semble me souvenir d'un theoreme qui disait qu'entre deux rationnel il y a toujours un irrationnel, donc ce serait ouvert car il y aurait des "trou" dans D.
Mais comme l'ensemble D est borné par 0 et 1 compris il est fermé et donc ni l'un ni l'autre.
Mais comme vous avez pu le constater j'ai beaucoup de mal a le formuler, si quelqu'un pouvait m'aider, merci d'avance!
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[invite769a1844]

Bonjours a tous je dois montrer si l'ensemble suivant et ouvert,fermé ou ni l'un ni l'autre.
D={(x dans R), tel que x entre dans (Q inter [0,1])}

Je pense que cette ensemble est ni ouvert ni fermé, car il me semble me souvenir d'un theoreme qui disait qu'entre deux rationnel il y a toujours un irrationnel, donc ce serait ouvert car il y aurait des "trou" dans D.
Mais comme l'ensemble D est borné par 0 et 1 compris il est fermé et donc ni l'un ni l'autre.
Mais comme vous avez pu le constater j'ai beaucoup de mal a le formuler, si quelqu'un pouvait m'aider, merci d'avance!

Salut,

le premier théorème peut s'exprimer de cette façon:

tout réel est limite d'une suite de rationnels.

[invite8bc5b16d]

Salut,

juste une remarque : tu sembles confondre fermé et borné : un ensemble contenu dans [0,1] est nécessairement borné, mais pas forcément fermé, par exemple ]1/4;3/4[ est un ensemble ouvert
De même un "trou" ne veut pas dire ouvert, par exemple [0;1/4] union [3/4;1] est un ensemble fermé....avec pourtant un gros trou lol


Après pour ton problème, essaye de regarder un peu la bordure de ton ensemble...

[invitebe0cd90e]

Le plus simple, me semble t il, est de revenir aux definitions :

- S'il est ouvert, alors pour tout x dans d, il doit exister une boule de rayon non nul et de centre x incluse dans D. Utilise la propriété que tu cites (entre 2 rationnels il y a un irrationnels) pour montrer que ca n'est pas possible.

- S'il etait fermé, son complémentaire serait ouvert. Prend donc un irrationnel y dans [0,1] (qui est bien dans le complementaire de D), et essaie de la meme maniere de construire une boule autour de lui. Utilises la meme propriété (ou plutot "l'inverse", cad entre 2 irrationnels on trouve toujours un rationnel) pour montrer que ca n'est pas possible.

[A voir en vidéo sur Futura]