Ensemble ni ouvert ni fermé
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Ensemble ni ouvert ni fermé



  1. #1
    invited3804c53

    Ensemble ni ouvert ni fermé


    ------

    Bonjours a tous je dois montrer si l'ensemble suivant et ouvert,fermé ou ni l'un ni l'autre.
    D={(x dans R), tel que x entre dans (Q inter [0,1])}

    Je pense que cette ensemble est ni ouvert ni fermé, car il me semble me souvenir d'un theoreme qui disait qu'entre deux rationnel il y a toujours un irrationnel, donc ce serait ouvert car il y aurait des "trou" dans D.
    Mais comme l'ensemble D est borné par 0 et 1 compris il est fermé et donc ni l'un ni l'autre.
    Mais comme vous avez pu le constater j'ai beaucoup de mal a le formuler, si quelqu'un pouvait m'aider, merci d'avance!

    -----

  2. #2
    invite769a1844

    Re : Ensemble ni ouvert ni fermé

    Citation Envoyé par janus8752 Voir le message
    Bonjours a tous je dois montrer si l'ensemble suivant et ouvert,fermé ou ni l'un ni l'autre.
    D={(x dans R), tel que x entre dans (Q inter [0,1])}

    Je pense que cette ensemble est ni ouvert ni fermé, car il me semble me souvenir d'un theoreme qui disait qu'entre deux rationnel il y a toujours un irrationnel, donc ce serait ouvert car il y aurait des "trou" dans D.
    Mais comme l'ensemble D est borné par 0 et 1 compris il est fermé et donc ni l'un ni l'autre.
    Mais comme vous avez pu le constater j'ai beaucoup de mal a le formuler, si quelqu'un pouvait m'aider, merci d'avance!

    Salut,

    le premier théorème peut s'exprimer de cette façon:

    tout réel est limite d'une suite de rationnels.

  3. #3
    invite8bc5b16d

    Re : Ensemble ni ouvert ni fermé

    Salut,

    juste une remarque : tu sembles confondre fermé et borné : un ensemble contenu dans [0,1] est nécessairement borné, mais pas forcément fermé, par exemple ]1/4;3/4[ est un ensemble ouvert
    De même un "trou" ne veut pas dire ouvert, par exemple [0;1/4] union [3/4;1] est un ensemble fermé....avec pourtant un gros trou lol


    Après pour ton problème, essaye de regarder un peu la bordure de ton ensemble...

  4. #4
    invitebe0cd90e

    Re : Ensemble ni ouvert ni fermé

    Le plus simple, me semble t il, est de revenir aux definitions :

    - S'il est ouvert, alors pour tout x dans d, il doit exister une boule de rayon non nul et de centre x incluse dans D. Utilise la propriété que tu cites (entre 2 rationnels il y a un irrationnels) pour montrer que ca n'est pas possible.

    - S'il etait fermé, son complémentaire serait ouvert. Prend donc un irrationnel y dans [0,1] (qui est bien dans le complementaire de D), et essaie de la meme maniere de construire une boule autour de lui. Utilises la meme propriété (ou plutot "l'inverse", cad entre 2 irrationnels on trouve toujours un rationnel) pour montrer que ca n'est pas possible.

  5. A voir en vidéo sur Futura
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