la preuve en mathématique

[jojo17]

Bonjour,
une question simplement : Peut-on parler de preuve en mathématique?

Merci.
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[Matmat]

Bonjour,
une question simplement : Peut-on parler de preuve en mathématique?

Merci.

Non seulement on peut, mais on ne le peut qu'en mathématiques, du moins on ne le peut que dans un "monde dans lequel les objets sont vus par personne et depuis nulle part".

[jojo17]

D'accord, mais alors quels sont les "alibis" de ces objets dans ce cas?
Que représente-t-il? En quoi faut-il que la preuve soit nécessaire?
Par exemple, les mathématiques en physiques, que représentent-ils?
Que prouve-t-on?

[invite0384691e]

Bonjour

Contrairement à Paul Erdos comme dit dans l'article suivdit ( http://www.les-mathematiques.net/his...toire_erd.php3 ) je ne crois pas qu'une démonstration mathématique explique si peu que ce soit une propriété mathématique, je pense qu'elle ne fait que l'établir à partir d'axiomes et de postulats de base qui sont par nature inexpliquables, indémontrables.

Au fond, une preuve mathématique ce n'est qu'un enchaînement stéril de syllogismes, il n'y a rien de plus au début qu'à la fin, c'est la même chose formulé différemment. La preuve mathématique ne fait qu'établir des propriétés qui étaient contenues dans les prémisses mais d'une manière non explicite.

Bonnes journées.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7863222222222]

Bonjour

Contrairement à Paul Erdos comme dit dans l'article suivdit ( http://www.les-mathematiques.net/his...toire_erd.php3 ) je ne crois pas qu'une démonstration mathématique explique si peu que ce soit une propriété mathématique, je pense qu'elle ne fait que l'établir à partir d'axiomes et de postulats de base qui sont par nature inexpliquables, indémontrables.

De mon avis, Paul Erdös parle de la valeur explicative des démonstrations relativement aux axiomes choisis.

Cependant, je ne pense pas que les démonstrations "peu explicatives" ont "moins de valeurs" que les autres.

Par exemple, pour la non dénombrabilité de IR par exemple, il y avait au départ deux démontrations (dont une de Cantor), jusqu'à ce Cantor trouve la fameuse démonstration de la diagonale autrement plus simple et "explicite" que les deux précédentes.

La preuve mathématique ne fait qu'établir des propriétés

Oui mais ce n'est pas plus les propriétés en elle-même qui sont importantes que leur existence.

[invite0384691e]

salut

Ce que je veux dire c'est qu'à la fin d'une démonstration mathématique, il n'y a rien de nouveau du point de vue théorique, de celui d'une connaissance recherchée pour elle-même.

Par contre la preuve mathématique a une utilité "pratique", il y a un effet boule de neige qui fait que les formules plus ramassées se combinant entre elles bien que n'apprenant rien de nouveau qui ne soit contenu préalablement dans les axiomes et les postulats, permettent des raccourcis d'écriture qui font découvrir des expressions compliquées qui auraient été impossibles à établir autrement.

Ce qui est fort utile au physicien, lors des applications pratiques des formules mathématiques compliquées par ce biais découvertes ...

[invitef591ed4b]

La preuve mathématique ne fait qu'établir des propriétés qui étaient contenues dans les prémisses

Sauf que pour savoir que ces propriétés sont "contenues" dans les prémisses, il faut avoir la preuve... Voilà son intérêt.

En négligeant le fait qu'une preuve est, en soi, un contenu (plein de preuves livrent en même temps des méthodes applicables à d'autres problèmes).

[invite7863222222222]

Ce que je veux dire c'est qu'à la fin d'une démonstration mathématique, il n'y a rien de nouveau du point de vue théorique

D'accord pour dire que par exemple, la mise en place une théorie mathématique ne change pas directement les objets sur laquelle elle s'applique, mais elle permet néanmoins d'en comprendre les relations.

Ce qui est fort utile au physicien

Cela intéresse aussi (voir plus que le physicien quelque fois) le mathématicien de savoir que sa théorie dépasse le monde des idées et peut trouver des applications pratiques.

[invite0384691e]

salut

Ce que je veux dire c'est que n'est pas aux preuves et aux démos d'expliquer les principes et les postulats qui par nature sont indémontrables, inexpliquables.

Prenez f(x) = x² sur R, cherchez en la fonction dérivée, pour cela cherchez pour un x0 de R la limite l :
l= lim (f(x)-f(x0) / (x-x0) qud x -> x0 :

l = lim (x²-x0²) / (x-x0) = lim (x-x0)(x+x0) / (x-x0) = lim (x+x0) quand x-> x0 = 2x0 terminé vous généralisez pour tout x réel ce qui vous donne f '(x) = 2x.

Voilà, vous avez trouvé une formule commode, vous avez en tout x réel, f'(x) = 2x si f(x)=x² et cette écriture simple que vous avez démontrée vous évitera à l'avenir de recalculer bêtement (x²)'.

Maintenant analysez ce qui s'est passé lors de la démo : rien de sorcier, ce sont des additions et des quotients, une identité remarquable (autre raccourcis d'écriture), il n'y a rien de nouveau sous le soleil, la formule était contenue dans les principes et les postulats.

Autre exemple l'intégrale de 1/t² entre 0 et +OO qui, si je me souviens bien, vaut pi²/6 ou quelque chose comme ça : pas du tout intuitif , pas du tout évident , mais si vous revenez sur sa démo vous verrez que là encore y'a rien de nouveau sous le soleil, que cette propriété mathématique (pas du tout intuitive ) était contenue dans les principes et les postulats.

En négligeant le fait qu'une preuve est, en soi, un contenu (plein de preuves livrent en même temps des méthodes applicables à d'autres problèmes).

La preuve a le contenu des principes et des postulats qui par nature sont inexplicables, indémontrables (règles de la logique, valeur des abstractions etc.).

[invite7863222222222]

Maintenant analysez ce qui s'est passé lors de la démo : rien de sorcier, ce sont des additions et des quotients, une identité remarquable (autre raccourcis d'écriture), il n'y a rien de nouveau sous le soleil, la formule était contenue dans les principes et les postulats.

C'est tellement simple que vous avez oublié de préciser que la fonction doit être continue et que la limite à droite et la limite à gauche était supposé identique.

Autrement dit, en mathématiques, f'(x) = 2x pour f(x)=x² n'est pas intéressant en soit.

Ce à quoi les mathématique s'interesse, ce sont les conditions d'application d'un raisonnement qui permettent par là même, de définir des structures d'objets mathématiques.

[invite0384691e]

Mouais ... perso j'aurais par trop tendance à penser qu'en maths les preuves et les démos SONT les axiomes, les principes et les postulats ...

Mais bon

[invite7863222222222]

Mouais ... perso j'aurais par trop tendance à penser qu'en maths les preuves et les démos SONT les axiomes, les principes et les postulats ...

Mais bon

Les axiomes + la logique oui.