preuve ln(1+a_n)=...

[invite197a324a]

Bonjour à tous,

J'ai un petit problème: en reprenant mon cours, j'ai tenté de démontrer la proposition suivante: soit (a_n) une suite qui converge vers 0,
ln(1+a_n)=a_n + o(a_n) à partir de l'encadrement: pour tout x réel positif, x-x²/2 <= ln(1+x) <= x.

Mais j'y arrive pas !! donc si vous aviez des pistes sans forcément me donner la solution ce serait sympa.

Merci d'avance.
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[invite4b9cdbca]

Tu as essayé un développement limité en 0 de ln(1+x) ?

[invite35452583]

Bonjour,
à partir de ton encadrement tu n'arrives pas à majorer |ln(1+x)-x| puis appliquer à la suite (an) ?

[invite5e985c7f]

Salut,

C'est un développement limité d'ordre 1 de ln(1+x) au voisinage de 0!

Plus élémentairement, tu peux utiliser, Le théoème des accroissement finies.

Encore plus élémentairement, à partir de l'inégalité x-x²/2 <= ln(1+x) <= x, en se raportant à la majoration proposée par "homotopie". Mais là tu devrais effectuer forcément une étude de fonctions afin d'établir l'igalité utilisée.

Mais encore plus élémentairement, tu peux utiliser la concavité de la fontion ln(1+x) dans un intervalle de type [-e,e], pour établir l'inégalité:

ln(1+e)/e.x < ln(1+x) < ln(1-e)/e.x (e>0)

Sauf que ici tu vas devoir admettre que la limite de ln(1+/-e)/e = 1 pour e tendant vers 0.

Bonne journée!
A.r

[A voir en vidéo sur Futura]