L'univers et l'ensemble de tous les ensembles

[Médiat]

même si Médiat, en bon logicien ou bon modérateur, l'exige, mais sur les libertés données ou pas à un langage ( et par conséquent aux définitions ) .

Rassurez-vous, ce n'est en aucun cas en tant que modérateur que je suis intervenu.

Un mot, un seul, me gêne, dans la phrase ci dessus, c'est : "impose" , pourquoi "impose" ?
je m'apercois ici, que si j'avais voulu faire le même cours que vous, je n'aurais pas dit "impose" mais : "n'interdit pas" , car à mon sens les définition "construisent" ce qui existe et les axiomes "interdisent" les constructions contradictoires dans la théorie.

Du coup je comprends mieux notre différence, mais je persiste sur le verbe "imposer".

Le schéma d'axiome de séparation dit :

Pour tout ensemble A et toute propriété P exprimée dans le langage, il existe un ensemble dont les éléments sont les éléments de A vérifiant P

Il y a bien écrit "il existe", et non "il peut exister".
Pour être précis et faire le lien avec mon intervention de 7h11, l'ensemble A est l'ensemble de tous les ensembles (supposé exister), et la formule P est . Donc cet ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas doit exister, et c'est bien l'axiome qui l'impose.

Sinon en suivant votre objection, l'axiome de la paire dirais que la paire peut exister et non qu'elle existe (etc. avec les autres axiomes) et donc {} serait un modèle de ZF, et donc ZF serait consistante .
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[Matmat]

A propos donc de l'axiome de séparation ( je préfère dire axiome compréhension non restreint mais peu importe ) .

"Soit un prédicat P, B={x|Px} existe" (1)

Cet axiome (1) est en quelques sorte l'ancetre bancal de l'axiome de séparation, il était utilisé dans les premières théories des ensembles et c'est celui qu'utilise Russel pour construire des ensemble posant problème .

Zermelo et Fraenckel sont intervenus et l'on "transformé" ainsi:

"Soit un ensemble A et une propriété P, il existe un ensemble B d'éléments de A vérifiant la propriété P" (2)

Cet axiome (2) est l'axiome de séparation de la théorie ZF ( ou axiome de compréhension restreint)

Lorsque vous parlez de l'axiome de séparation dans votre message de 7h, vous indiquiez que vous étiez dans ZF ( donc à priori vous parliez de (2) ? ) mais ensuite vous disiez que cet axiome impose que l'ensemble de tous les ensembles existe ( j'en ai déduis que vous parliez de (1)) mais dans le message qui suit c'est bien (2) que vous énoncez , j'y ai juste ajouté un "B" pour bien distinguer l'ensemble A du sous-ensemble B .
Quoiqu'il en soit, je pense que l'axiome (1) n'interdit pas l'existence d'ensembles de tous les ensembles et que l'axiome (2) interdit l'existence d'un ensemble de tous les ensembles et par suite je ne comprend pas pourquoi vous pensez que le (2) "l'impose".

Nous avons quitté le sujet du fil ( définition de l'univers ) .

[Médiat]

mais ensuite vous disiez que cet axiome impose que l'ensemble de tous les ensembles existe

Mais ce n'est pas du tout ce que j'ai écrit :

Si l’ensemble de tous les ensembles existe alors un axiome de séparation impose que l’ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas existe or l’existence de cet ensemble entraîne un paradoxe

Donc je parlais bien d'un axiome de séparation, qui, impose que l'ensemble de tous les ensembles n'existe pas, pour la raison ci-dessus.

Mais sans cette axiome, je ne vois pas comment on peut l'affirmer.

[shokin]

J'ai déplacé les trois messages précédents de la section Épistémologie et Logique à celle Mathématiques du supérieur.

Médiat, tu pourras éventuellement modifier le titre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Matmat]

D'accord, je vous avais lu trop vite.