Les ensembles indénombrables sont-ils équipotents à des ensembles particuliers ?

[Seirios]

Bonjour à tous,

Tout est dans le titre, j'aimerais savoir si les ensembles indénombrables sont équipotents à des ensembles particuliers, tout comme les ensembles dénombrables sont équipotents à . Par exemple, est-il possible que tout ensemble indénombrable soit équipotent à un ensemble de la forme ?

Qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance,
Phys2
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[invite986312212]

tu prends tous les R^n, tu en fais l'union et tu prends l'ensemble des parties de cet ensemble. C'est plus grand qu'un R^n.

[inviteea028771]

Non, ça n'est pas le cas.

R^n est équipotent à R, mais le cardinal de l'ensemble des fonctions de R dans R est strictement plus grand que celui de R.

[invite97a92052]

Hello,

Tu as déjà la réponse, voilà de la doc pour aller un peu plus loin :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Aleph_%28nombre%29
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_transfini

(et pour aller plus loin, voir aussi l'hypothèse du continu)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Il me semble que l'on peut considérer 3 situations différentes :

ZF sans AC : la notion de cardinal ne se définit pas très bien, il doit donc (je ne me suis jamais penché sur ce problème) être très difficile, voire certainement impossible de trouver des ensembles de référence, pour toutes les classes d'équipotence.

ZFC sans HGC : Avec ZFC, tous les ensembles sont équipotent à un cardinal (qui est le plus petit ordinal d'une classe d'équipotence), cette classe des cardinaux (ce n'est pas un ensemble) forme donc une classe d'ensembles de référence ; on peut démontrer que tous les cardinaux infinis sont de la forme , où :
est défini comme le cardinal de (le plus petit ordinal limite (>0))
(où signifie le successeur de , pour un cardinal quelconque)
Si est un ordinal limite

Comme la suite des parcourt la classe des cardinaux, c'est cette suite qui est utile pour les récurrences transfinies sur les cardinaux.
Il existe aussi une autre suite, moins intéressante : la suite des beth ℶ (désolé, mais le latex de FSG ne supporte pas \beth, et c'est un peu galère avec unicode), pour simplifier on passe d'un beth à son successeur en prenant l'ensemble de ses parties.

ZFC + HGC : dans cette situation la suite des et celle des ℶ sont identiques, c'est dire que non seulement on a une classe d'ensembles de références, mais en plus on peut les construire () :
^ℶ
ℶℶ (ensemble des parties)
Et comme d'habitude pour les ordinaux limites, on fait l'union des plus petits (le mélange unicode/latex est très moche avec ). On peut aussi l'écrire :
^ℶℶ