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Ensemble de tous les ensembles / Paradoxe de Russell



  1. #1
    Lucas41

    Ensemble de tous les ensembles / Paradoxe de Russell


    ------

    J'ai découvert aujourdhui, grâce à un DM de maths, le paradoxe de Russell, du genre :
    "Supposons que l’ensemble contenant ( et ne contenant que) tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux mêmes existe.
    Soit il se contient, et cela est contradictoire avec sa définition, car il contiendrait un ensemble se contenant.
    Soit il ne se contient pas, et cela est encore contradictoire avec sa définition, car il est censé contenir tous les ensembles qui ne se contiennent pas.
    Conclusion: cet ensemble n’existe pas."

    Or on en parle souvent en rapport avec le problème de "l'ensemble de tous les ensembles". Mon problème : je ne vois pas le rapport entre "l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes" et "l'ensemble de tous les ensembles"
    Si quelqu'un pouvait m'expliquer ...

    -----

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  3. #2
    GrisBleu

    Re : Ensemble de tous les ensembles / Paradoxe de Russell

    Salut

    cet "ensemble" est aussi pathologique de l'ensemble de tous les ensembles. En gros, il est trop vaste
    Le but d'une axionatisation des ensembles est d'empecher ce genre de construction de pretendre au statut d'ensemble.
    ++

  4. #3
    Ksilver

    Re : Ensemble de tous les ensembles / Paradoxe de Russell

    C'est surtous qu'on aimerait bien que quand on a un ensemble U et un prédicat logique f pouvoir considérer "l'ensemble des x dans U telle f(x) soit vrai" (l'axiomatique des ensemble qu'on utilise autorise ceci...)

    donc si on ne veut pas pouvoir prendre "l'ensemble des ensemble qui ne ce contienne pas eux meme" il ne faut pas que l'ensemble des ensembles existe !

    et puis cela pose plein d'autre problème :
    Si l'ensemble de tous les ensemble est un ensemble E. l'ensemble des partie de E est alors inclu dans E (puisque toute partie de E est un ensemble, donc un element de E...), on à donc une application injective de P(E) dans E (l'inclusion)

    or le theorème de cantor assure que cela est impossible (quand on est un ensemble, alors P(E) à un cardinal strictement plus grand que celui de E, entre autre P(E) ne s'injecte pas dans E)

  5. #4
    Mathador33

    Re : Ensemble de tous les ensembles / Paradoxe de Russell

    Ah c'est marrant ça. vous êtes en quelle section ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    jobherzt

    Re : Ensemble de tous les ensembles / Paradoxe de Russell

    Citation Envoyé par Lucas41 Voir le message
    Or on en parle souvent en rapport avec le problème de "l'ensemble de tous les ensembles". Mon problème : je ne vois pas le rapport entre "l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes" et "l'ensemble de tous les ensembles"
    Si quelqu'un pouvait m'expliquer ...
    C'est ce que Ksilver veut dire, il me semble : en gros si l'ensemble de tous les ensembles existait, alors on pourrait en deriver l'ensemble de Russell. Or celui ci n'existe pas, donc l'ensemble de tous les ensembles non plus.

    De meme pas d'ensemble de tous les groupes, de tous les espaces vectoriels, etc...

    C'est (et pour bien d'autre choses) pour pouvoir quand meme manipuler ce genre de chose qu'on a developpé la theorie des categories.

  8. #6
    anisometropie

    Re : Ensemble de tous les ensembles / Paradoxe de Russell

    Est ce que l'ensemble de tous les ensembles qui se contienne dans eux même existe ?
    le problème d'autoréférence disparait cette fois.
    pourtant cet ensemble devrait etre tout autant pathologique que l'ensemble des ensemble ordinaire, qui ne se contiennent pas eux même.

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  10. #7
    Médiat

    Re : Ensemble de tous les ensembles / Paradoxe de Russell

    Citation Envoyé par anisometropie Voir le message
    Est ce que l'ensemble de tous les ensembles qui se contienne dans eux même existe ?
    En tout cas on ne peut pas démontrer que ce n'est pas un ensemble, car avec l'axiome de fondation, il n'existe pas d'ensemble qui se contienne, l'ensemble de ces ensembles est donc l'ensemble vide.

    Donc, dans ZF, soit c'est toujours un ensemble, soit c'est indécidable.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #8
    leg

    Re : Ensemble de tous les ensembles / Paradoxe de Russell

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message

    et puis cela pose plein d'autre problème :
    Si l'ensemble de tous les ensemble est un ensemble E. l'ensemble des partie de E est alors inclu dans E (puisque toute partie de E est un ensemble, donc un element de E...), on à donc une application injective de P(E) dans E (l'inclusion)

    or le theorème de cantor assure que cela est impossible (quand on est un ensemble, alors P(E) à un cardinal strictement plus grand que celui de E, entre autre P(E) ne s'injecte pas dans E)
    Mais, n'est ce pas une interprétation de mot ,ou de langage...

    car supposons que E existe, ce n'est pas pour autant qu'un élément de E est égale à E;
    par conséquent chaque partie de E ou chaque élément de E est strictement < E, et chaque élément de E ne se contient pas.

    est ce donc ,ce que veut dire le théorème de Cantor?

  12. #9
    Médiat

    Re : Ensemble de tous les ensembles / Paradoxe de Russell

    Citation Envoyé par leg Voir le message
    car supposons que E existe, ce n'est pas pour autant qu'un élément de E est égale à E;
    Si E est l'ensemble de tous les ensembles, c'est donc un ensemble il appartient donc à l'ensemble de tous les ensembles, il est donc bien élément de lui-même

    Citation Envoyé par leg Voir le message
    par conséquent chaque partie de E ou chaque élément de E est strictement < E, et chaque élément de E ne se contient pas.
    C'est quoi < entre ensemble ? Si vous voulez parler de l'ordre des cardinaux, alors clairement Card(IR) > Card({IR}).

    Citation Envoyé par leg Voir le message
    est ce donc ,ce que veut dire le théorème de Cantor?
    Le théorème de Cantor dit qu'il n'existe pas d'injection entre P(A) et A, pour A n'importe quel ensemble.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  13. #10
    leg

    Re : Ensemble de tous les ensembles / Paradoxe de Russell

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Si E est l'ensemble de tous les ensembles, c'est donc un ensemble il appartient donc à l'ensemble de tous les ensembles, il est donc bien élément de lui-même
    ok Médiat.
    c'est bien pour cela que je parlai d'une question de mot ou de langage autrement dit: le sac de tous les ensembles... donc le sac ne se contient pas lui même. et il ne peut y avoir confusion ou mauvaise interprétation ....
    alors: est ce que, lorsque l'on veut parler, de tous les ensembles mis dans un même sac, ne faudrait-il pas utiliser un autre mot ou terme pour désigner ce "sac" et non pas l'ensemble E de tous les ensembles A...etc

  14. #11
    Médiat

    Re : Ensemble de tous les ensembles / Paradoxe de Russell

    Citation Envoyé par leg Voir le message
    est ce que, lorsque l'on veut parler, de tous les ensembles mis dans un même sac, ne faudrait-il pas utiliser un autre mot ou terme pour désigner ce "sac" et non pas l'ensemble E de tous les ensembles A...etc
    Mais si, et c'est pourquoi on n'emploie pas le mot ensemble dans ce cas, mais le mot Classe, et il y en beaucoup, par exemple la classe des ordinaux n'est pas un ensemble non plus.

    Il faut faire attention, quand on utilise le mot classe, :
    1) soit on se place dans une théorie du genre ZF + xxx, et dans ce cas les classes ne sont pas des objets mathématiques, mais juste un mot pratique, pour parler de tous les ordinaux par exemple.
    2) soit on se place dans une théorie du genre NBG, et dans ce cas les classes et les ensembles (d'ailleurs les ensembles sont juste des classes particulières) sont bien des objets mathématiques.
    Dernière modification par Médiat ; 25/07/2010 à 11h49. Motif: Orthographe
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #12
    leg

    Re : Ensemble de tous les ensembles / Paradoxe de Russell

    parfait Médiat
    donc à nous d'utiliser les bons termes pour définir ce que l'on veut interpréter , dans une théorie et d'utiliser la bonne définition...
    bonne journée Médiat et merci.

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