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Utilité qu'une application soit linéaire ou non



  1. #1
    Vishnu

    Utilité qu'une application soit linéaire ou non


    ------

    Bonjour a tous,

    En fait, je ne comprends pas bien l'utilité des définitions d'applications linéaires. Pouvez vous m'expliquer qu'est ce qui change quand l'on a pas affaire a des applications linéaires: des équations physiques irrésolubles, ... ?

    Merci

    -----

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  3. #2
    Texanito

    Re : Utilité qu'une application soit linéaire ou non

    Bonjour,

    On pourrait se dire que pour lancer un objet à une vitesse V, il faut lui donner une énergie E et que pour le lancer à une vitesse V'=2V, il faudrait lui donner une énergie E'=2E.

    Or non, car l'application qui admet la vitesse comme variable et renvoie une énergie est non linéaire ().

    Pour lancer un même objet deux fois plus vite, il faut 4 fois plus d'énergie.

    Cordialement,

  4. #3
    Seirios

    Re : Utilité qu'une application soit linéaire ou non

    Bonjour,

    En fait, je ne comprends pas bien l'utilité des définitions d'applications linéaires.
    Parce qu'elles permettent souvent de résoudre des problèmes ?

    D'un point de vue mathématique, je pense que si les applications linéaires sont assez importantes, c'est parce que, historiquement, il est apparu que leur étude pouvait être très utile.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  5. #4
    Rhodes77

    Re : Utilité qu'une application soit linéaire ou non

    Bonjour,

    Ce qui est pratique avec les applications linéaires, c'est surtout qu'elles se soumettent au principe de superposition. Si considère une équation différentielle linéaire (E) qui traduit le comportement d'un système physique, et si on montre indépendamment que s1 et s2 sont solutions de (E), alors toute combinaison linéaire de s1 et de s2, s=a.s1+b.s2, où (a,b)€R², est elle-même solution de (E).

    Si une certaine densité de charge d1 est à l'origine d'un champ électrique E1, d2 d'un champ E2, alors les deux contributions s'ajoutent et le champ total est donné par E1+E2 car la loi qui lie le champ aux charges est linéaire.

    Un contre exemple a déjà été cité, par exemple concernant l'énergie cinétique et la vitesse.

    J'espère que ca vous convainc.
    Bye !
    Etre professionnel ne donne pas le droit d'être pédant

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Vishnu

    Re : Utilité qu'une application soit linéaire ou non

    Oui merci, ces exemples m'aident bien.
    Mais néanmoins, par exemple, pour le cas d'un projecteur dans un espace vectoriel, quel besoin a t-il d'etre aussi une application linéaire?
    (toujours et encore car c'est pratique dans les physiques ?)
    Ou plutot, pourrait on concevoir un projecteur non linéaire qui soit quand meme defini mathématiquement clairement?

  8. #6
    Seirios

    Re : Utilité qu'une application soit linéaire ou non

    Mais un projecteur dans un espace vectoriel est nécessairement linéaire, à cause de la structure d'espace vectoriel.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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  10. #7
    silk78

    Re : Utilité qu'une application soit linéaire ou non

    Bonjour,

    Lorsqu'une application u de E dans F est linéaire, on peut réduire l'étude de u à une base de E et une de F (ce qui forme une matrice de u). On peut alors déduire tout les autres images à partir de cette matrice.
    Alors que si tu considère ton application comme quelconque, c'est rarement aussi simple.

    De plus, pour ce qui est des projecteurs, utiliser les notions de noyaux et d'images permet de trouver très facilement sur quoi on projète et parallèlement à quoi.

    Silk

  11. #8
    Vishnu

    Re : Utilité qu'une application soit linéaire ou non

    En revoyant ma démonstration, j'ai l'impression que le coeur de cette propriété (application linéaire pouvant se définir comme coordonnés sur une base) vient du fait que l'application f de K^n dans E et qui aux scalaires (a1,...,an) associe la base (e1,...,en) tel que:
    -f(a1,...,an)=a1e1+...+anen

    est un isomorphisme;
    ce que je comprends comme le fait qu'il existe un unique vecteur défini par les valeurs de scalaires sur une base fixée.
    Je vois par le calcul pourquoi cette application doit etre linéaire mais je ne comprends pas pourquoi sans le calcul.
    Quelqu'un peut-il me donner un contre exemple ou le fait que f ne soit pas linéaire implique que f ne soit pas forcément bijective?
    Merci

  12. #9
    lioobayoyo

    Re : Utilité qu'une application soit linéaire ou non

    Citation Envoyé par Vishnu Voir le message
    En revoyant ma démonstration, j'ai l'impression que le coeur de cette propriété (application linéaire pouvant se définir comme coordonnés sur une base) vient du fait que l'application f de K^n dans E et qui aux scalaires (a1,...,an) associe la base (e1,...,en) tel que:
    -f(a1,...,an)=a1e1+...+anen

    est un isomorphisme;
    ce que je comprends comme le fait qu'il existe un unique vecteur défini par les valeurs de scalaires sur une base fixée.
    Je vois par le calcul pourquoi cette application doit etre linéaire mais je ne comprends pas pourquoi sans le calcul.

    ben l'idée des applications linéaires, c'est que ce sont les morphismes dans le monde des espaces vectoriels.

    K^n et E sont des espaces vectoriels, mais deux mondes (ensembles) de nature complètement différente à priori.

    Si tu prend deux n-uples de scalaires (a1, ..., an) et (b1, ..., bn), puis que tu regardes les vecteurs dans E associés, puis que tu ajoutes les deux vecteurs obtenus, tu obtiendras la même chose que si tu ajoutes d'abord les deux n-uples de scalaires pour obtenir (a1+b1, ..., an+bn) puis que calcules le vecteur dans E associé à ce n-uple.

    je trouve que c'est beaucoup de mots pour un concept qui parait évident, mais c'est une manière de formaliser cette idée correctement du point de vue mathématique.

    Je pense que tu as constaté que la preuve de la linéarité par le calcul est "évidente" (en gros tout est défini de manière à ce que ça marche). Avec des mots, sans calculs, c'est pareil : c'est une manière de formaliser le fait que finalement tout espace vectoriel E (de dim. finie n) sur un certain corps K, "c'est comme" K^n, on peut toujours simplifier la manière de voir ainsi.



    Quelqu'un peut-il me donner un contre exemple ou le fait que f ne soit pas linéaire implique que f ne soit pas forcément bijective?
    Merci
    je n'ai pas compris cette phrase, si je n'ai pas répondu à ta question avec ce que j'ai dit n'hésite pas à expliciter ceci.

  13. #10
    Vishnu

    Re : Utilité qu'une application soit linéaire ou non

    Deja, merci beacoup

    "Avec des mots, sans calculs, c'est pareil : c'est une manière de formaliser le fait que finalement tout espace vectoriel E (de dim. finie n) sur un certain corps K, "c'est comme" K^n, on peut toujours simplifier la manière de voir ainsi."

    Je ne comprends pas bien cette phrase. J'en ai compris que, a la base, tous les nombres (1,2,...) sont définis sur un meme "gros monde", et que le fait d'associer a une partie de ce monde x une autre partie f(x) ne changeait rien ai fait qu'on restait dans le meme monde. Mais comme cela n'était pas très rigoureux, on a décidé de distinguer des mondes différents dans ce "gros monde". Et ce serait pourquoi tu écris que K^n, "c'est comme" E ?

    Quant a ma question.
    Je crois que l'utilité principal des applications linéaires en tant qu'outil mathématiques est que l'on peut en définir une unique tel que f(ek)=yk avec ek les vecteurs d'une base.
    Or, cette propriété (unicité) découle du fait que l'application f (défini linéaire) de K^n dans E et qui aux scalaires (a1,...,an) associe la base (e1,...,en) tel que:
    -f(a1,...,an)=a1e1+...+anen est une application linéaire et bijective.

    Or, seul la bijectivité semble intéressante (hors calcul) pour définir une unicité. De ce fait, a quoi cela nous sert de rajouter la linéarité?

  14. #11
    lioobayoyo

    Re : Utilité qu'une application soit linéaire ou non

    Citation Envoyé par Vishnu Voir le message
    Deja, merci beacoup


    Je ne comprends pas bien cette phrase. J'en ai compris que, a la base, tous les nombres (1,2,...) sont définis sur un meme "gros monde", et que le fait d'associer a une partie de ce monde x une autre partie f(x) ne changeait rien ai fait qu'on restait dans le meme monde. Mais comme cela n'était pas très rigoureux, on a décidé de distinguer des mondes différents dans ce "gros monde". Et ce serait pourquoi tu écris que K^n, "c'est comme" E ?
    je ne sais pas trop, je ne suis pas sûr de trouver les bons mots, et je ne suis pas sûr d'avoir compris ce que tu penses exactement

    Reprenons :
    E et K^n peuvent être à priori très différents.

    E, espace vectoriel sur R de dimension 3, peut être un ensemble dont les éléments sont des "flèches" géométriques dans l'espace, avec comme addition et multiplication les règles géométriques que tu connais sur les vecteurs. Rien à voir avec des nombres à priori.

    Ou encore E peut être l'ensemble de polynômes à une indéterminée de degré au plus 2 à coefficients dans R, comme 5X^2+3 ; 4,2X ; ou -X^2-2X-0,1 , avec l'addition des polynômes et la multiplication par un scalaire habituelles. Rien à voir, en étant puristes, avec de simples "triplets" de nombres réels.

    R^3, espace vectoriel sur R de dimension 3, est justement l'ensemble des triplets (a, b, c) avec a, b, c dans R et avec l'addition et la multiplication par un scalaire habituelle pour ces "vecteurs sous forme algébrique". R^3 est un peu l'espace vectoriel sur R de dimension 3 "trivial" (le plus simple à concevoir, le "canonique")

    On veut mettre en relation ce E dont les éléments peuvent être plus ou moins abstraits, mais qui est quand même un espace vectoriel sur R de dimension 3, et R^3 , l'espace le "plus simple". On veut "standardiser" les espaces vectoriels en voyant comment on peut toujours se ramener à R^3 depuis E, quel qu'il soit, du moment qu'il a dimension 3.

    Par exemple, on comprend qu'avec la notion de base, la seule chose qui importe est d'avoir une unique manière d'écrire une flèche comme combinaison linéaire des flèches de bases e1, e2, e3. de là, on dit "ah ben en fait étudier les flèches, ça revient finalement à étudier seulement ces coefficients" (avec les coefficients seuls, (a,b,c) on est dans R^n).

    De même avec l'exemple que j'ai donné dans les polynomes, comme tout polynôme à coeff. dans R de degré au plus 2 s'écrit de manière unique comme aX^2 + bX + c , on a envie de dire que finalement il suffit d'étudier les triplets (a, b, c) dans R^n.

    Maintenant on veut formaliser ça par une jolie application entre E et R^3

    Quant a ma question.
    Je crois que l'utilité principal des applications linéaires en tant qu'outil mathématiques est que l'on peut en définir une unique tel que f(ek)=yk avec ek les vecteurs d'une base.

    je ne comprends pas
    c'est quoi, les "vecteurs d'une base" ?
    Or, cette propriété (unicité) découle du fait que l'application f (défini linéaire) de K^n dans E et qui aux scalaires (a1,...,an) associe la base (e1,...,en) tel que:
    -f(a1,...,an)=a1e1+...+anen est une application linéaire et bijective.

    Or, seul la bijectivité semble intéressante (hors calcul) pour définir une unicité. De ce fait, a quoi cela nous sert de rajouter la linéarité?

    Donc pour continuer ce que je disais plus haut, on veut mettre en relation E et R^3. On ne veut pas juste une bijection, la bijection ne signifie pas grand chose, en fait. Sais-tu qu'on peut mettre en bijection la surface d'un carré avec un segment ? Le fait d'avoir une bijection n'est pas le plus important.

    Le plus important est justement la linéarité. La linéarité c'est que la "structure est préservée" lors de la relation. Ce qu'on veut dire par "structure", c'est l'addition et la multiplication par un scalaire, les opérations qui vont avec l'ensemble et qui font qu'on a des espaces vectoriels.

    Pour avoir une relation intéressante, on s'impose déjà ceci dès le départ :

    * si on fait une addition a+b dans E, et qu'on applique f au résultat f(a+b) , on obtient la même chose que si on appliquait f séparément sur a et b, puis qu'on ajoute les résultat ( f(a) + f(b) )(Addition dans R^n)

    * si on fait une multiplication par un scalaire dans E c*a ,et qu'on applique f au résultat, on obtient la même chose que si on appliquait f (f (c*a) )d'abord au vecteur a puis qu'on fait la multiplication par un scalaire dan R^N : c*f(a)


    on le veut car sinon ça n'a plus beaucoup d'intérêt. L'application f doit être linéaire, dès le début.

    Ensuite, on veut voir si avec une telle contrainte on peut avoir une bijection. S'il n'y a pas cette contrainte de linéarité (d'homomorphisme) dès le départ, on peut mettre en bijection des plans et des droites, et tu es d'accord qu'on ne veut pas vraiment dire qu'un plan et une droite sont "la même chose".

    Avec une application linéaire, on a un théorème qui dit qu'on ne peut avoir une bijection que si et seulement si les espaces sont de la même dimension. Et ensuite, en plus de ça découle la "jolie" propriété de l'unicité, si on fixe l'image par f des vecteurs d'une certaine base de E, qui découle "automatiquement" de cela.


    D'un côté tu as raison que pour avoir l'unicité, la bijection est importante, mais si tu oublies la linéarité, alors tout ça (le fait d'avoir une relation entre E et R^N) n'a plus vraiment de sens, ça devient inutile. D'ailleurs, pour ajouter à l'inutilité d'avoir la bijection "toute seule", sans la linéarité, j'imagine déjà une infinité de bijections non-linéaires possibles entre E et R^n, même avec les images des vecteurs de base fixées. (essaye d'y réfléchir et d'imaginer des exemples)

    Est-ce plus clair ?

    j'espère ne pas avoir dit trop de bêtises...
    Dernière modification par lioobayoyo ; 20/07/2010 à 04h17.

  15. #12
    Vishnu

    Re : Utilité qu'une application soit linéaire ou non

    Oui, merci beaucoup

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