Si f est injective, chaque élément de l'ensemble d'arrivée aura au plus un antécédent. Certains éléments peuvent ne pas avoir d'antécédent, mais ce n'est pas grave car la définition de fonction n'est pas restrictive, et autorise certains éléments de l'ensemble de départ à ne pas avoir d'image (sinon ce serait une application.) Donc suffit-il qu'une fonction soit injective pour que sa réciproque existe ?
A priori oui, mais cela n'as aucun intérêt.
Une fois l'injectivité d'une application prouvé, il suffit de la restreindre à sont ensemble image pour obtenir une bijection.
Pour tout graphe définis entre deux ensemble, tu peut de toute manière définir un graphe réciproque en intervertissant composante droite et composante gauche dans les couples constituants le sous-ensemble du produit des deux ensemble que le graphe définit (cela intervertit aussi l'ensemble de départ et d'arrivée).
Si on appelle pour un graphe entre A et B (sous-ensemble du produit cartésien A*B):
- "être défini" le fait d'associer à chaque élément de A au moins un élément de B.
-"être fonctionnel" le fait d'associer à chaque élément de A au plus un élément de B
-"être injectif" le fait d'associer à chaque élément de B au plus un élément de A.
-"être surjectif" le fait d'associer à chaque élément de B au moins un élément de A.
On remarque que les applications sont les graphes définis et fonctionnels, que les bijections sont les graphes injectifs et surjectifs.
D'autre part soit F un graphe et E sont graphe réciproque:
-F est défini ssi E est surjectif
-F est fonctionnel ssi E est injectif
(On obtient deux autres propositions en intervertissant E et F dans les deux précédentes)
On remarque que les graphes définis et surjectifs, les graphes fonctionnels et injectifs, et les applications bijectives sont stables par réciproque (leurs réciproques a les même propriétés).
Pour répondre maintenant à ta question, tu te donne une application injective. La réciproque sera donc bijective et fonctionnelle, mais pas forcément définie. Il est beaucoup plus pratique de manipuler des applications (existence et unicité de l'image), aussi le réciproque d'une application injective peut (mais pas forcément) manquer d'utilité dans le concret.
En espérant avoir répondu sans trop me répandre ^^.
