paradoxe de RUSSELL

[invite00b08343]

salut a tout le monde.
dans le paradoxe de russel on entend par le mot ensemble qui contient eux meme (ou qui se contient).
ma question est le plus simple possible donner un exemple simple et clair pour un tel ensemble .
et merci d'avance...
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[martini_bird]

Salut,

l'ensemble de tous les ensembles.

Cordialement.

[invite00b08343]

salut.
merci pour l'exemple mais est ce que c'est la seule exemple.si non donner un autre .
et merci...

[invité576543]

L'ensemble des ensembles dont la définition tient en onze mots.

L'ensemble des ensembles qui sont décrits dans un message du forum Futura Sciences.

[A voir en vidéo sur Futura]

L'exemple que prenait Russell était celui des catalogues (de livres d'une bibliothèque)..
Il y a deux sortes de catalogues: ceux qui se répertorient eux mêmes et ceux qui ne le font pas.

Un statisticien zélé décide de répertorier tous les catalogues qui ne se répertorient pas eux mêmes..

Ce super catalogue doit il se répertorier ?
S'il le fait il transgresse la condition..
S'il ne le fait pas il doit se répertorier

[GuYem]

L'exemple que prenait Russell était celui des catalogues (de livres d'une bibliothèque)..
Il y a deux sortes de catalogues: ceux qui se répertorient eux mêmes et ceux qui ne le font pas.

Un statisticien zélé décide de répertorier tous les catalogues qui ne se répertorient pas eux mêmes..

Ce super catalogue doit il se répertorier ?
S'il le fait il transgresse la condition..
S'il ne le fait pas il doit se répertorier

Je ne l'avais jamais vu comme ça, c'est trés joli

Est-ce-que c'est le même problème pour l'histoire du barbier ?

[invite986312212]

autre exemple: le barbier. Dans une ville, le barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes, et rien que ceux-là. D'ailleurs ce n'est pas un vrai paradoxe, puisque chacun sait que le barbier est barbu.

[spi100]

Un autre très classique : "l'ensemble de toutes les pensées humaines" qui est aussi une pensée humaine.

[Médiat]

L'exemple que je trouve le plus parlant dans la série des pensées humaines, des catalogues, etc. (surtout dans sa résolution) est celui de l'adjectif autonomique (qui se qualifie lui-même, comme court, qui est court), et de hétéronomique (qui ne se qualifie pas lui-même, comme long qui est court). La question est de savoir si hétéronomique est hétéronomique ou autonomique.

La résolution de tous ces paradoxes passe par l'usage de méta-niveaux, dans l'exemple des adjectifs précédents, "court" est un mot qui qualifie des objets du langage (symbolisé par les guillemets), alors que [court] est un mot qui qualifie des mots du langage, et je peux écrire "court" est [court], "long" est [court], sans risquer de tomber sur ce paradoxe, le mot autonomique n'ayant même plus de sens, puisqu'un mot de niveau n ne peut être qualifié que par un mot de niveau (n+1)

Pour le barbier, je préfère une autre explication : le barbier est un homme comme les autres et ne devient barbier que quand il entre dans sa boutique de barbier pour y accomplir son office. Donc si M. Figaro, barbier de métier, se rase chez lui au réveil, il n'est pas rasé par le barbier Figaro, au contraire, s'il attend d'être dans sa boutique et utilise ses outils professionnels (il n'est pas obligé d'aller jusqu'à se payer, mais le fisc pourrait considérer cela comme un avantage en nature), alors le Barbier Figaro, rase un homme appelé Figaro qui ne s'est pas rasé lui-même le matin : le paradoxe disparaît...

[invité576543]

Bonjour,

Les adjectifs, les barbiers, ce ne sont pas des exemples d'ensembles qui se contiennent eux-mêmes.

On est en train d'élargir le fil à tous les paradoxes basés sur l'auto-référence...

Cdlt,

[invite986312212]

tu identifies chaque personne à l'ensemble des gens que cette personne rase. Le barbier est donc un ensemble.

[invité576543]

tu identifies chaque personne à l'ensemble des gens que cette personne rase. Le barbier est donc un ensemble.

Drôle d'identification. Soit h une personne, on définit E_h comme l'ensemble des personnes que cette personne rase.

Ensuite?

[invite986312212]

Ensuite?

c'était une boutade. Ca ne marche pas parce que deux personnes différentes peuvent avoir le même ensemble de rasés et donc l'identification est prise en défaut.

Dans tous les cas, le paradoxe du barbier qui rase ceux qui ne se rasent pas, même s'il ressemble à celui de l'ensemble des ensemble qui ne se contiennent pas, n'est pas vraiement un paradoxe, c'est plutôt une contradiction. Elle postule l'existence d'un homme qui a une propriété impossible à satisfaire. je crois que la seule conclusion logique c'est qu'il n'existe pas de barbier.

[invité576543]

n'est pas vraiement un paradoxe, c'est plutôt une contradiction. Elle postule l'existence d'un homme qui a une propriété impossible à satisfaire. je crois que la seule conclusion logique c'est qu'il n'existe pas de barbier.

Vu comme cela c'est parallèle au paradoxe de Russell. En gros ce n'est pas parce qu'on a écrit une phrase qui semble décrire un ensemble qu'il existe, ou plus exactement qu'on puisse l'accepter comme objet mathématique. Il faut que des conditions supplémentaires soient remplies. Si je me rappelle mes lectures, H. Poincaré dit qu'on a simplement pas le "droit" d'accepter en maths des définitions qui créent une contradiction.

La suite est plus marrante, parce que, si on peut prouver que certaines définitions introduisent une contradiction (voir exemples cités), il n'est pas aisé (il me semble que c'est même impossible en général) de prouver que telle ou telle définition n'introduit pas de contradiction!

Derrière le paradoxe de Russell, il y a les fondements mêmes des maths qui sont en jeu!

Cordialement,

[Médiat]

Derrière le paradoxe de Russell, il y a les fondements mêmes des maths qui sont en jeu!

Il y a (avait) surtout la preuve que les premières définitions (axiomatisations) de la théorie des ensembles (celle de Cantor par exemple) méritaient d'être améliorées.

Quant au preuves de non contradiction dans les systèmes axiomatisés, il existe de nombreuses preuves de consistance relative (par exemple ZF + AC est consistant si ZF l'est).

Et il y a bien des théories dont on connaît des modèles et qui sont, par conséquent, consistantes.

[invité576543]

Et il y a bien des théories dont on connaît des modèles et qui sont, par conséquent, consistantes.

Assez, ou celles qu'il faut, pour que les fondations des maths soient bien assises?

Cordialement,

[Médiat]

Assez, ou celles qu'il faut, pour que les fondations des maths soient bien assises ?

Si tu penses que la théorie des ensembles est un pilier essentiel à la fondation des maths (je suis dans ce cas, mais c'est un choix ), alors personne n'a démontré jusqu'à présent que le Théorie ZF était consistante, par contre, comme je disais, il y a des tas de démonstrations de consitance relative.

[spi100]

salut a tout le monde.
dans le paradoxe de russel on entend par le mot ensemble qui contient eux meme (ou qui se contient).
ma question est le plus simple possible donner un exemple simple et clair pour un tel ensemble .
et merci d'avance...

Le paradoxe de Russel, c'est plutot l'ensemble des ensembles qui ne s'appartiennent pas, non ?

Si tu penses que la théorie des ensembles est un pilier essentiel à la fondation des maths (je suis dans ce cas, mais c'est un choix ), alors personne n'a démontré jusqu'à présent que le Théorie ZF était consistante, par contre, comme je disais, il y a des tas de démonstrations de consitance relative.

Bonjour,

Ajoutons aussi, histoire de ne pas dormir trop tranquillement, que si la théorie ZF est consistante, alors elle est incomplète (tout commela théorie des types de Russell)

[Médiat]

Ajoutons aussi, histoire de ne pas dormir trop tranquillement, que si la théorie ZF est consistante, alors elle est incomplète (tout commela théorie des types de Russell)

Parfaitement, et c'est cela qui est bon .

On sait par exemple que l'axiome du choix (AC) et l'hypothèse du continu (HC) sont indécidables dans ZF supposée consistante.