1^i = ?

[invitebafd601e]

Bonjour,

Je suis confronté à un problème bizarre...
Quand je tape 1^i sur ma calculatrice, elle m'affiche 1.
Pourtant 1^i = (i^4)^i = i^(4i) = (i^i)^4 = (e^(-pi/2))^4 = e^(-2pi)
et e^(-2pi) est différent de un.
Pouvez-vous me proposer une réponse à ce paradoxe ?

Merci d'avance
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[phys4]

Bonjour,

Toutes les puissances de 1 valent 1. Il n'y a pas de solution indéterminée.

Attention aux manipulations d'exposants, les exposants successifs ne sont pas associatifs, il faut respecter l'ordre des parenthèses et vous ne pouvez pas les changer sans modifier le résultat:
Essayez (3^3)^3 et comparez à 3^(3^3)

[Médiat]

Bonjour,
Etes-vous sûr que la formule soit valide dans le domaine où vous l'utilisez ?
Par exemple , alors que , et avec les complexes :
, alors que , et .

Il faudrait donc savoir quelle est la définition de .

[Seirios]

Bonsoir,

Comme il a été dit, il faut préciser ce que l'on entend pas . Si l'on souhaite étendre la définition réelle, on serait tenté d'écrire . Le problème est alors d'étendre le logarithme en un logarithme sur les complexes . Or il se trouve qu'il n'y a pas de beau prolongement comme l'exponentielle, plus précisément, le logarithme d'un nombre complexe est défini modulo , ce qui justifie les valeurs possibles () pour . Néanmoins, on a généralement coutume de prendre la valeur principale du logarithme (tout comme l'argument d'un nombre complexe), en l'occurrence (qui plus est, ici on évalue le logarithme en un nombre réel, donc on aimerait bien prolonger la définition de la puissance sur les réels). En ce sens, .

[A voir en vidéo sur Futura]