Convergence d'une série

[invite84e4ff4d]

Salut je veux comprendre la solution de cette exercices!

Etudier la convergence de la série Un=SIGMA((-1)^[racine(n)]/n )
n>=1
[racine(n)] est la partie entière de racine(n)
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[invite171486f9]

Salut,
c'est une série alternée, utilise donc le Critère Spécial des séries alternées :
- décroissance de la valeur absolue du terme général
- limite du terme général = 0

[invite84e4ff4d]

Oui mais je ne sais pas comment faire :s
comment je vais faire pour la partie entière

[invited776e97c]

Ce n'est pas une serie alternée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite171486f9]

pour la décroissance de la valeur absolue, elle est évidente.
pour la limite, une croissance comparée pourrait t'aider... sachant que [racine(n)] croit moins vite que n, la limite parait évidente. Si tu en n'est pas convaincu, étudie la fonction f(x)=[racine(n)]/n

De toute facon, la partie entière est inutile lorsque l'on étudie le comportement de racine(n) en l'infini.
On peut dire que [racine(n)]~racine(n) (en l'infini)

[invite171486f9]

Ce n'est pas une serie alternée.

oui, toutes mes excuses, ce n'est pas une série alternée...
Mon post précédent est alors inutile.

[invite171486f9]

essaie alors d'étudier l'absolue convergence. En étudiant la convergence de la série de terme général : valeur absolue de (-1)^..., tu retombe alors sur une série à termes positifs.
Donc, tu peux essayer avec la règle de D'Alembert

[invite91ba7070]

Déjà lorsqu'on parle de la convergence absolue il faut qu'on prévoit dés le début la convergence or dans ce cas on ne pourra rien conclure.D'ailleurs j'ai le mm problème j'arrive pas à étudier sa convergence!

[0577]

Bonjour,

vous pouvez commencer par estimer la contribution provenant de termes consecutivement de meme signe.

[invite91ba7070]

bon moi j'ai pensé autrement on a [racine de n]<racine de n < 2*racine de n et puisque (-1)<1 donc (-1)^(racine de n )> (-1)^(2 racine de n) d'où l'étude de la série de terme général 1/n qui est divergente d'après Rieman ! Donc notre série est divergente ! nn ? Merci !

[invite91ba7070]

nn nn c'est illogique !! :s !

[invite1c6b0acc]

Bonjour,
J'ai calculé pour voir :

La première courbe montre les 100000 premiers termes, la deuxième les 5000 premiers.
On voit clairement que ça converge, et de quelle façon :
La série forme des triangles de plus en plus larges et de moins en moins haut.
Il ne reste plus qu'à le démontrer ... (mais c'est plus facile quand on a une idée du mécanisme ... )

[breukin]

Soit l'unique entier tel que
Alors :


(Il ne s'agit que du regroupement des termes par paquets de plus en plus longs, de 1 à 3, puis de 4 à 8, puis de 9 à 15, etc.)

On peut alors faire une évaluation suffisamment fine de (en comparant avec une intégrale) :

pour voir que cette suite positive est décroissante et tend vers 0, donc qu'on se retrouve avec une suite alternée.

[invite91ba7070]

bonjour!
Merci infiniment (surtout la représentation ça m'a vraiment éclaircie le problème) mais le truc de l'unique entier constitue pour moi l'abstrait :/ , je n'arrive pas à l'assimiler :s !