convergence d'une série

[invite59250f02]

bonsoir à tous,
j'ai une petite question à vous poser..
je voudrais montrer que la série est convergente avec . et la condition

Merci pour votre aide
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[invite59250f02]

j'ai oublié de préciser que

[invite59250f02]

Bonsoir tout le monde

des petites indications s'il vous plait

Merci pour votre aide

[Tiky]

Bonjour,

Que signifie la lettre C en indice sur ton ensemble ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite59250f02]

Bonjour
signifie l'ensemble des nombres complexes...

Merci

[Tiky]

Désolé, ça n'avait rien d'évident, c'est la première fois que je vois ça noté ainsi.

[invite59250f02]

oui c'est vrai , parfois on trouve plusieurs notations pour la meme chose, il y a généralement cette notation
désolée de ne pas avoir précisé..

[Tiky]

J'avais cherché une démonstration "élémentaire" toute à l'heure mais je n'avais rien trouvé. En y repensant, on peut le démontrer en reconnaissant un produit de convolution et l'inégalité de Young :
http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A..._les_normes_Lp

Il existe sans doute une démonstration plus simple.

[Tiky]

Uhm, en fait ce n'est pas tout à fait le produit de convolution :/ mais l'analogie avec le cas continue est tentant.

[Tiky]

C'est parti pour l'artillerie lourde

On pose si et si .
De même si et sinon.

Alors et

Alors on a :


Et par l'inégalité de Young appliqué à p = 1, q = 2 et r = 2. On a

[invite59250f02]

Bonjour

Merci beaucoup pour votre aide, mais ce que je ne comprend pas c'est quoi le produit entre les suites de

Merci encore

[Tiky]

Il suffit de calquer sur la définition de la convolution sur . Tu dis que sont convolables si
pour presque tout la fonction est intégrable sur par rapport à la mesure de Lebesgue. Tu poses alors :


En revanche pour faire des convolutions sur des suites, il faut mieux utiliser pour l'indexation. Au lieu d'intégrer par rapport à la mesure de Lebesgue,
on va intégrer par rapport à la mesure de comptage sur . Si on se donne 2 suites complexes et , on appelle produit
de convolution de et la suite définie par :

Avec des hypothèse suffisantes sur et , le produit de convolution est définie pour tout entier relatif n.

L'inégalité de Young repose sur l'inégalité d'Hölder, c'est pour ça qu'elle reste valable pour le produit de convolution de suites.
Tu peux regarder l'exercice 5.2 sur le pdf suivant : http://lefevrepa.free.fr/PagesPerso/...ent/polyaf.pdf

[invite59250f02]

d'accord je comprend très bien maintenant, je vous remercie beaucoup pour ces informations, et pour toute votre aide
Cordialement