convergence d'une Série

[invite88a1342b]

Bonjour tout le monde,

Je suis en L1 de maths et j'ai des problèmes pour démontrer la convergence d'une série que voici:

[ (-1)^n ] / [ (-1)^n + n ]

Au départ, j'ai essayé d'appliquer le théorème des séries alternées, j'ai donc mi sous la forme (-1)^n * vn en essayant de montrer que Vn vérifiait mes 3 conditions:
- tend vers 0 à l'infini
- positive à partir d'un certain rang
- décroissante à partir d'un certain rang

C'est la décroissance qui me pose probleme. Je ne sais plus vraiment comment faire maintenant.
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[invite986312212]

travaile sur les dénominateurs (les inverses de vn),calcule les premiers termes et cela deviendra lumineux

[invite88a1342b]

En faisant ce que tu m'as dit j'ai trouvé que ma fonction était égale à:

[(-1)^n] * [1/n] à partir de n=2 en réordonnant les termes.
Si ce résultat est correct, je peux appliquer mon théorème et je trouve que ma série est convergente.

Penses tu que c'est correct ?

Merci beaucoup pour l'aide !

[inviteae1ed006]

Attention, dans le cas des séries alternées, on peut très bien avoir à partir d'une seule et même série deux séries de nature différentes uniquement en réordonnant des termes de la série initiale (voir les séries commutativement convergentes...)
Ici ça marche, mais attention à la manière de l'écrire...
Ou alors on peut écrire comme différence d'une série alternée convergente et d'une série autre série à termes tous positifs équivalente à une série absolument convergente...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2eaa2470]

Autre solution beaucoup plus calculatoire passage par un DL :

Tu as désormais la somme de trois séries :
Le première convergente d'après le critères des séries alternées (pas besoin de réordonner les termes ce qui comme signalé par tize est très dangereux).
La deuxieme absolument convergente d'après Riemann.
La troisième est aussi absolument convergente car négligeable devant une série de Riemann.

drazala

[invite88a1342b]

Si j'ai bien compris, tu as transformé la série en une fonction dont tu as fait le DL et comme le DL converge, l'intégrale de notre fonction aussi et enfin notre série ?

je ne savais pas qu'on pouvait transformer notre série en fonction quand tout n'etait pas positif.

[invite2eaa2470]

Si on veut j'ai traité la suite (pas la série) comme on traite les fonctions le seul poblème étant de faire apparaître quelque chose qui tende vers 0 quand n tend vers l'infini (classiquement on fait apparaître ).

Par contre la conclusion n'est pas celle que tu avances je ne fais pas apparaître d'intégrale. Simplement après avoir effectué le DL on a : avec , et
Puis j'étudie chaque série séparemment la série des converge par le Critère des séries alternées, la série des par riemann et celle des car négligeable devant une série de Riemann. La série des étant la somme de trois séries convergentes, elle converge.



Pas mal d'exos peuvent se résoudre avec cette technique calculatoire mais il faut se méfier : si l'une des trois séries obtenues diverge alors la série de départ diverge mais si jamais par malheur deux au moins de ces séries divergent alors tu ne peux plus conclure car la somme de deux séries divergentes peut être convergente.

[invite4ef352d8]

attention au reorganisation de therme dans les series !!!

avec une serie convergente non-absoluement convergente, on peut en faisant les bonnes reorganisations de termes obtenir une seri qui converge vers ce que l'on veux, ou qui diverge...

et quand je dis "ce que l'ont veux" je n'exagère pas : pour tous x reel il existe une permutation s de N telle que la seri de terme general U(s(n)) tendent vers x.

[invite88a1342b]

j'ai du mal à visualiser tout ce qu'on me dit. C'est surement parce que je ne connais pas bien mon cours ^^

j'aurais besoin d'un exemple concret pour comprendre le problème du réordonnancement dans une série.

[inviteae1ed006]

ba par exemple: si tu somme dans l'ordre la série est semi-convergente mais si tu décide de sommer en commençant par les n pairs alors il y à un problème car ...
et c'est un exemple simple !!! on peut vraiment faire tout et n'importe quoi avec une série alternée si on réorganise l'ordre des termes...par contre avec les séries absoluments convergente il n'y a pas de problème...