Une somme connue...

[invite42abb461]

Bonjour, il s'agit de la serie de terme général (-1)^nsur n
J'ai plein de methode pour montrer qu'elle vaut -ln(2) mais j'essaye d'en élaborer une qui m'a l'air assez courte et je n'arrive pas a conclure. Pour calculer cette somme je considere la serie entiere x^n sur n de rayon de convergence =1 et qui a pour somme -ln(1-x). Je vois bien qu'en moins 1 ca va donner ce que je veux, mais j'arrive pas a montrer qu'il y a convergence uniforme sur le segment [-1,a] avec a <1 . Si j'y arrivais ca montrerait la continuité de la somme en -1 et donc ca serait bon, mais je ne peux pas utiliser la convergence normale ici puisque en 1 la serie diverge...Pouvez vous m'aider? Merci
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[invitedf667161]

Salut.

Il n'y a surement pas convergence uniforme sur les intervalles que tu indiques.

J'ai peur que ta preuve ne se doive d'utiliser un théorème de Abel tangentiel ...

[invite42abb461]

Salut.

Il n'y a surement pas convergence uniforme sur les intervalles que tu indiques.

J'ai peur que ta preuve ne se doive d'utiliser un théorème de Abel tangentiel ...

Il ya pourtant convergence simple sur tout le segment ouvert, et en ses bornes...Bref si je me suis trompé dans mon intuition, existe t il un autre moyen de passer de la valeur de la somme sur le segment ouvert, à la valeur de la somme en sa borne -1 ? On voit que la valeur correspond, il doit bien y avoir un lien quand meme ?!

[invitedf667161]

Oui il y a un lien.

Comme je t'ai dit, le théorème de Abel tangentiel donne le résultat directement. Il dit la chose suivante : prends une série entière somme(a_n.x^n) de rayon 1 et suppose que somme(a_n) converge vers L. Pose f(x) la somme de la série sur le disque de convergence. Alors, quand x tend vers 1 en restant dans un certain domaine du disque qui a une allure de triangle, f(x) tend vers L.


Ca marche opur tout les points du cercle de convergence en tournant la tête.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteae1ed006]

Salut.

Il n'y a surement pas convergence uniforme sur les intervalles que tu indiques.

J'ai peur que ta preuve ne se doive d'utiliser un théorème de Abel tangentiel ...

Salut GuYem !
Pourtant le théorème d'Abel Radial dit le contraire...non ?
(voir petit 3 de ceci par exemple...)

[invitedf667161]

Salut GuYem !
Pourtant le théorème d'Abel Radial dit le contraire...non ?
(voir petit 3 de ceci par exemple...)

Zut alors, je ne connaissais pas ce théorème !

Il répond en effet à la question de gpadide. Je proposais d'utiliser le suivant, qui s'appelle Abel non-tangentiel et non pas tangentiel comme je l'avais dit, et qui répond également, de manière plus compliquée à la question.

D'ailleurs si quelqu'un peut m'expliquer la terminologie "non-tangentiel", je suis preneur. Voilà en tous cas une belle preuve du fait que je n'ai pas compris grand chose à ce qui se passe sur le bord !