Convergence d'une série

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je vous propose un exercice que l'on m'a posé et que j'ai trouvé intéressant à résoudre :

Soit une suite telle que pour tout distincts, . Etudier la convergence de la série .

Je ne suis pas tout à fait satisfait de mon raisonnement, donc je suis curieux de connaître d'éventuelles autres méthodes. Je mettrai ma résolution plus tard, mais voici le résultat que j'ai montré :

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La série converge absolument. D'ailleurs le résultat devrait même pouvoir être généralisé à : pour tout p>2, la série est absolument convergente.

Seirios
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[invitea07f6506]

Bon, je tente la généralisation (assez naturelle quand on voit ce qu'il se passe). On peut même se placer en dimension supérieure, tant qu'à faire.

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Au lieu de travailler avec , je vais travailler avec .

Considérons le sous-ensemble de suivant : . Alors tout point de est à distance au plus de . Par conséquent, à tout point de la suite je peux associer le point le plus proche de dans (quitte à prendre des conventions s'il y a plusieurs points à distance égale : d'abord celui en bas à gauche, ensuite celui en bas à droite, etc.). Je note ce point .

Il y a au plus un nombre fini de points dans la boule centrée en 0 et de rayon 2. Leur contribution ne changeant pas la nature de la somme, on peut supposer sans perte de généralité que tous les points de la suite ont une norme supérieure ou égale à 2. Sous cette hypothèse, on vérifie que . De plus, les sont deux à deux distincts (sinon, on aurait deux point et à distance plus petite que 1 l'un de l'autre).

Finalement, on a donc :



Le membre de droite converge si et seulement si (résultat classique, peut se voir par exemple en regroupant les points de S par anneaux centrés en 0, puis comparaison à une somme de Riemann). Donc, si , alors la somme de gauche converge absolument.

Voilà un petit exercice sympathique ^^

[Seirios]

Ma méthode est assez similaire :

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On pose et (). On remarque que les éléments de la suite sont dans des boules de rayon 1/2 disjointes. Or la couronne contient au moins 1/3 d'une telle boule, donc elle contient au plus éléments de la suite . Comme contient tous les pour , on a . L'inégalité étant vraie quelque soit n, on en déduit la convergence.

Ensuite, on peut toujours essayer de trouver la meilleure borne possible.

[invitea07f6506]

Il y a une petite erreur dans ta démonstration. On n'a pas de borne supérieure sur pour appartenant à , donc l'avant-dernière inégalité est fausse. On voit que ça ne peut pas tenir car on peut prendre aussi proche que voulu de 0, ce qui permet à la somme de dépasser n'importe quelle constante fixée. C'est pourquoi j'avais ajouté l'argument "Il y a au plus un nombre fini de points dans la boule centrée en 0 et de rayon 2."

En pratique, on obtiendra plutôt des bornes du type , et on peut s'amuser à optimiser .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Effectivement, merci d'avoir rectifié.