Convergence d'une série

[invite96d1ecb0]

Bonjour tout le monde,
Est ce qu'on peut m'aider à étudier la convergence de la série (selon les paramètres a et b qui sont des réels):
∑[cos(bln(n))/(n^a)]

n allant de 1 à +oo

Et comme 2ème question : Pour quelles valeurs de a et b cette série converge vers 0 ?
Merci d'avance.
-----

[SchliesseB]

à la première question, il est facile de montrer que ça converge pour a>1 quelque soit b.

Après, pour , une idée serait de "sommer par paquets" en sommant les n tel que . en majorant/minorant, on doit arriver à montrer quelque chose (et on arrive après sur une série alternée) mais je n'ai pas essayé.

Pour la seconde question, elle n'est sûrement pas résoluble analytiquement (et peut être même pas par ordinateur ). Quand on voit qu'on ne peut pas résoudre cette question pour la "simple" série (avec )...

[fardi123]

vraiment je ne trouve pas comment il diverge

un condition Nécessaire, mais pas suffisant

bln(n))/(n^a) --> pi/2 ou bien -pi/2

je n'arrive pas a resoudre ça.



bon chance pour trouver la repense

[invite96d1ecb0]

vraiment je ne trouve pas comment il diverge

un condition Nécessaire, mais pas suffisant

bln(n))/(n^a) --> pi/2 ou bien -pi/2

je n'arrive pas a resoudre ça.



bon chance pour trouver la repense

Regarde bien ma série le Cosinus n'est pas appliqué au (n^a )

le Cosinus est appliqué juste à la partie (b*ln(n))

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite96d1ecb0]

Bonjour,
Je ne comprends pas trop ta démarche pour le ca a <= 1 !
Tu fais appel au k et au n !

à la première question, il est facile de montrer que ça converge pour a>1 quelque soit b.

Après, pour , une idée serait de "sommer par paquets" en sommant les n tel que . en majorant/minorant, on doit arriver à montrer quelque chose (et on arrive après sur une série alternée) mais je n'ai pas essayé.

Pour la seconde question, elle n'est sûrement pas résoluble analytiquement (et peut être même pas par ordinateur ). Quand on voit qu'on ne peut pas résoudre cette question pour la "simple" série (avec )...

[SchliesseB]

C'était juste un début d'idée sans plus...


donne:


Ainsi :
à la même convergence que
(y'a quelque soucis pour les premiers termes et pour le signe je crois, mais ça ne change pas la convergence. on a supposé b positif mais s'il est négatif ça change rien)

ça n'avance pas forcément à grand chose c'est vrai... En particulier faudrait encore sommer par paquet en regardant les termes où les cos est proche de 1 (par exemple supérieur à ) et majorer/minorer...

mais c'est pas évident...Et je suis même pas sur que ça diverge (série alternée?) sauf pour a<0 ou j'en suis sur^^

[invite96d1ecb0]

C'est un problème c'est si délicat hein ?

C'était juste un début d'idée sans plus...


donne:


Ainsi :
à la même convergence que
(y'a quelque soucis pour les premiers termes et pour le signe je crois, mais ça ne change pas la convergence. on a supposé b positif mais s'il est négatif ça change rien)

ça n'avance pas forcément à grand chose c'est vrai... En particulier faudrait encore sommer par paquet en regardant les termes où les cos est proche de 1 (par exemple supérieur à ) et majorer/minorer...

mais c'est pas évident...Et je suis même pas sur que ça diverge (série alternée?) sauf pour a<0 ou j'en suis sur^^

[fardi123]

ah oui , j'ai pas vu ça


je croix la même chose que SchliesseB




la serie n'est pas alternative selon mon cours

la serie alternative doit s ecrire U_n=(-1)ⁿ*a_n

avec a_n = |U_n|


et un autre bon chance

[invite96d1ecb0]

Ah non non la série ne converge pas quand b=0 quelque-soit a !
Si b = 0 alors elle converge quand a > 1

ah oui , j'ai pas vu ça


je croix la même chose que SchliesseB

j'ajoute le cas ou b=0 converge quelque-soit a


la serie n'est pas alternative selon mon cours

la serie alternative doit s ecrire U_n=(-1)ⁿ*a_n

avec a_n = |U_n|


et un autre bon chance

[fardi123]

oui j'ai changer ça a la dernière seconde

c'est une bête erreur de ma part

[SchliesseB]

la série n'est pas alternée certe. Mais en sommant par paquets comme je l'ai fais ci dessus, elle le devient (les + ensemble, les - ensemble)
Reste à voir si les paquets décroissent.... Le problème c'est que (attention, la suite après est "à l'oeil")

Je note le kième paquet (j'ai oublié la valeur absolue dans mon message ci-dessus):

On cherche le comportement de à l'infini (et si il décroît, c'est gagné...Sinon :/ )

On a typiquement dans la somme de l'ordre de termes qui sont de l'ordre de (le cos est de l'ordre de 1...)
donc un truc du genre:
qui tend vers 0 que si a>1... Il faut donc faire une analyse plus poussée (mais ce n'est pas dit que ça permette de conclure...)

[SchliesseB]

(Je ne peux plus modifier mon message )

Une idée pour la suite:
Il faut peut être aller voir du coté de http://fr.wikipedia.org/wiki/Sommation_par_parties

[mimo13]

Salut,

Bon je reprends avec une idée similaire à celle de SchliesseB:

- Si la série converge.
- Si le terme général diverge (dans le sens ) ou n'admet pas de limite donc la série ne converge pas.
- Si :
Si la série diverge, Sinon:

Pour les on a :



Et donc:

Apres, en posant et :



Ce dernier terme ne tend pas vers (par encadrement) et donc la série ne peut converger.

(Sauf Erreur...qui est très probable )

EDIT: Dans la dernière partie, le est pris positif, ce qui n'est pas restrictif vue la parité du cosinus.

[mimo13]

Juste pour vérifier je trouve:

[invite96d1ecb0]

Est ce qu'avec ce raisonnement tu conclus que la série diverge lorsque et b différent de zéro ??

Salut,

Bon je reprends avec une idée similaire à celle de SchliesseB:

- Si la série converge.
- Si le terme général diverge (dans le sens ) ou n'admet pas de limite donc la série ne converge pas.
- Si :
Si la série diverge, Sinon:

Pour les on a :



Et donc:

Apres, en posant et :



Ce dernier terme ne tend pas vers (par encadrement) et donc la série ne peut converger.

(Sauf Erreur...qui est très probable )

EDIT: Dans la dernière partie, le est pris positif, ce qui n'est pas restrictif vue la parité du cosinus.

[invite2e16d2ef]

cos(b(ln))/(n^a)<1/n^a
bon pour a>1 la suite est convergente ryman



cos(b(ln))/(n^a)>-1/n^a
ainsi on montre que cette dernière diverge pour a<1

ainsi cette série ne cv que pour a>1

[mimo13]

Est ce qu'avec ce raisonnement tu conclus que la série diverge lorsque et b différent de zéro ??

Oui.

cos(b(ln))/(n^a)>-1/n^a
ainsi on montre que cette dernière diverge pour a<1

ainsi cette série ne cv que pour a>1

Hein ???

[SchliesseB]

cos(b(ln))/(n^a)>-1/n^a
ainsi on montre que cette dernière diverge pour a<1

La série est t'elle à terme positif?

et bon, y'a beaucoup de séries dont le terme est minoré par quand même...

" ainsi on montre que diverge"

[invite2e16d2ef]

La série est t'elle à terme positif?

et bon, y'a beaucoup de séries dont le terme est minoré par quand même...

" ainsi on montre que diverge"

mdr dsl

[invite2e16d2ef]

La série est t'elle à terme positif?

et bon, y'a beaucoup de séries dont le terme est minoré par quand même...

" ainsi on montre que diverge"

mdr dsl

bon pour a<1

[invite2e16d2ef]

mdr dsl

bon pour a<1

n-n^2/2<ln(n)
cos(bn(1-n))<cos(bln(n))
.....?

[SchliesseB]

depuis quand cosinus est elle une fonction croissante?

[invite2e16d2ef]

depuis quand fait les math lorsque on est saoul

[invite96d1ecb0]

je ne suis pas encore sûr qu'elle diverge pour ! mais je continue à chercher.

Sinon est ce que vous pensez que c'est possible de démontrer que :


peut s'écrire sous la forme :

A_m B_m

Oui.

[SchliesseB]

ça ne veut pas dire grand chose.
est une fonction de n

Si tu n'imposes pas la façon de A et B dépendent de n, alors oui (prendre B=0 et )

Je vois mal quel Ansatz tu veux essayer mais ce n'est a mon avis pas abordable dans cette voie...

[invite96d1ecb0]

Non, bien évidemment je ne veux pas mettre B = 0 ! lol
Sinon pour ma démarche, je la propose pour la 2ème partie de la question, ainsi si j'arrive à démontrer que ma somme jusqu'au rang m peut
s'écrire sous la forme A_m B_m
la limite de cette suite lorsque m tend vers +oo sera égale à zéro si A_m tend vers zéro, vu que le cos() est majoré par 1 (Par encadrement je concluerai que la limite de A_m B_m est zéro !)
et dans cette optique, j'aurai à chercher une expression qui approche A_m en fonction de a et b ( comme ça j'aurai les conditions sur a et b pour que ma série initiale converge avec 0 < a <= 1 )
Vous voyez ce que je tente de faire ?

ça ne veut pas dire grand chose.
est une fonction de n

Si tu n'imposes pas la façon de A et B dépendent de n, alors oui (prendre B=0 et )

Je vois mal quel Ansatz tu veux essayer mais ce n'est a mon avis pas abordable dans cette voie...

[God's Breath]

On veut donc étudier la série de terme général .

Si , la série de terme général converge si, et seulement si, .

Si on peut, par parité du cosinus, se restreindre au cas .

Si , alors et la série de terme général est absolument convergente.

Si , on établit «facilement» que la suite de terme général n'est pas de limite nulle, donc que la série de terme général est trivialement divergente.

Reste le cas .

Je considère la fonction définie sur par et je pose, pour tout :



Une intégration par parties conduit à :



ce qui, compte-tenu de , sur , fournit la majoration :



où , et prouve la convergence absolue de la série de terme général .

La somme partielle de cette série est donnée par :



d'où, avec le changement de variable et en notant :



qui n'a pas de limite lorsque tend vers l'infini: la série de terme général diverge.

Sauf erreur dans mes calculs, il en résulte donc que la série de terme général converge si, et seulement si, .

[invite96d1ecb0]

Ton raisonnement me plaît

Sinon pourquoi tu as directement jugé que :



n'a pas de limite lorsque tend vers l'infini ?

On veut donc étudier la série de terme général .

Si , la série de terme général converge si, et seulement si, .

Si on peut, par parité du cosinus, se restreindre au cas .

Si , alors et la série de terme général est absolument convergente.

Si , on établit «facilement» que la suite de terme général n'est pas de limite nulle, donc que la série de terme général est trivialement divergente.

Reste le cas .

Je considère la fonction définie sur par et je pose, pour tout :



Une intégration par parties conduit à :



ce qui, compte-tenu de , sur , fournit la majoration :



où , et prouve la convergence absolue de la série de terme général .

La somme partielle de cette série est donnée par :



d'où, avec le changement de variable et en notant :



qui n'a pas de limite lorsque tend vers l'infini: la série de terme général diverge.

Sauf erreur dans mes calculs, il en résulte donc que la série de terme général converge si, et seulement si, .

[God's Breath]

Sinon pourquoi tu as directement jugé que :



n'a pas de limite lorsque tend vers l'infini ?

Essentiellement parce que , donc est constant, de valeur 1, ou diverge vers l'infini.

Si a une limite finie, alors a également une limite finie lorsque tend vers l'infini.

Or on peut écrire :



avec , et il est difficile que le sinus obtenu ait une limite finie en l'infini.

[invite96d1ecb0]

Je suis d'accord pour le n'a pas de limite, mais il ne faut pas oublier que ce sinus obtenu est multiplié par (qui n'est pas constant comme tu le dis, vu qu'en fin de compte on tendra le N vers l'infini !!)

Essentiellement parce que , donc est constant, de valeur 1, ou diverge vers l'infini.

Si a une limite finie, alors a également une limite finie lorsque tend vers l'infini.

Or on peut écrire :



avec , et il est difficile que le sinus obtenu ait une limite finie en l'infini.