automobiliste problème

[invite1d793136]

Bonjour à tous,

un problème qui a l'air facile mais je veux être sur que ce soit le cas.

Un automobiliste fait les 777 km du trajet Marseille Paris en 7h.Montrer qu'il existe un intervalle de temps d'une heure pendant lequel il a fait 111km.


Soit f:[a;b]R une application continue, alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c)=k
Pour l'automobiliste à la date t=Oh il a fait 0 kilomètre. La vitesse est une fonction continue qui dépend du temps en x et de la distance en y.
Donc pour a=0 f(a)=0

Pour l'automobiliste à la date t= 7 h il a fait 777 kilomètres
donc pour b=7 f(b)= 777

Donc pour c compris entre a et b et f(c) compris entre f(a) et f(b), on a f(c)=k
ici c= 1 or a=0 et b=7 donc c est bien compris entre a et b.
De plus f(c)= 111 pr f(a)= 0 et f(b)= 777
donc f(c) est compris entre f(a) et f(b).

Donc les valeurs du problème vérifient le théorème ce qui signifie qu'il existe bien un nombre tel que f(c)=k autrement dit l'automobiliste a bien fait 111km en une heure lors du trajet.

Merci d'avance
-----

[invite51d17075]

Bonjour à tous,

un problème qui a l'air facile mais je veux être sur que ce soit le cas.

Un automobiliste fait les 777 km du trajet Marseille Paris en 7h.Montrer qu'il existe un intervalle de temps d'une heure pendant lequel il a fait 111km.


Soit f:[a;b]R une application continue, alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c)=k
Pour l'automobiliste à la date t=Oh il a fait 0 kilomètre. La vitesse est une fonction continue qui dépend du temps en x et de la distance en y.
Donc pour a=0 f(a)=0

Pour l'automobiliste à la date t= 7 h il a fait 777 kilomètres
donc pour b=7 f(b)= 777

jusqu'ici c'est bon, après c'est tout faux !
et tu devrais préciser ce qu'est ton k !
tu n'applique pas bien le théorème

[invite1d793136]

Désolé, j'avais oublié de recopier la suite de ma solution

Donc pour c compris entre a et b et f(c) compris entre f(a) et f(b), on a f(c)=k
ici c= 1 or a=0 et b=7 donc c est bien compris entre a et b.
De plus f(c)= 111 pr f(a)= 0 et f(b)= 777
donc f(c) est compris entre f(a) et f(b).

Donc les valeurs du problème vérifient le théorème ce qui signifie qu'il existe bien un nombre tel que f(c)=k autrement dit l'automobiliste a bien fait 111km en une heure lors du trajet.

Voilà donc c'est bon ou pas?

[inviteaf1870ed]

Ce que tu écris est entièrement faux : rien ne dit que ton automobiliste a parcouru 111km au bout d'une heure !
Tu as essayé de montrer, en te compliquant grandement la vie et en n'y arrivant pas, que ton automobiliste avait parcouru 111km avant de parcourir la distance totale. Ce n'est absolument pas la question que l'on te pose !

On te demande de montrer que sur tous les intervalles d'une heure, il en existe au moins un où l'automobiliste a parcouru 111km.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

peut être devrais tu relire celà, et après essayer de l'appliquer correctement à ton exercice.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...m%C3%A9diaires

bonne nuit.

[invite1d793136]

J'ai déjà lu cette page et juste la résolution de mon exercice s'est basée sur le théorème des valeurs intermédiaires.
La vitesse est une fonction continue ( qui peut être décroissante ou croissante ralenti ou accéléré sur un intervalle donné).
On a 0h pour 0 km
et 7h pour 777km

et la valeur de milieu c= 1h et f(c)=k= 111km

on voit bien que 1 est entre 0 et 7 et 111 est entre 0 et 777.
c est entre a et b, et f(c) est entre f(a) et f(b).

Donc on se retrouve dans la situation du théorème des valeurs intermédiaires, donc voilà.
Après je ne comprends pas ce que vous vouliez dire d'autre.

[invited8344905]

Bonjour,

A suivre ton raisonement, on peut egalement dire:

f(2) = 222 km et
f(3) = 333 km donc pour 1 heure: f(3)-f(2) = 111km

Idem pour les autres heures. En partant du principe que la vitesse est constante on retrouveras toujours 111km pour 1h.
Je ne suis pas sur que se soit le but de l'exercice.

+++

[invite1d793136]

pas tout à fait puisque les heures ça doit être encadré aussi.
Mais sinon je ne vois pas comment on pourrait utiliser autrement le théorème des valeurs intermédiaires.

[invited3a27037]

soit d = f(t) la distance parcourue, t le temps en heures

moi je travaillerais avec la fonction g(t) = f(t+1) - f(t)

en utilisant le Théorème des Accroissements Finis (TAF)

g(t) est un accroissement: g(t) = (f(t+1) - f(t)) / ((t+1) - t))

avec le TAF, g(t) = f'(c) avec c entre t et t+1, et f ' c'est la vitesse instantanée

or on sait que le véhicule a forcément roulé à un moment ou un autre à 111km/Heures

je n'arrive pas à finaliser.

[invite51d17075]

tu peux tout à fait utiliser le théorème des valeurs intermédiaires mais il faut choisir la bonne fonction.
en fait on demande si pendant le trajet il existe un intervalle de temps de 1 pendant lequel on a effectué exactement 111 km
il n'y a aucune raison que ce soit à priori durant la première heure.
( il aurait même pu faire une sieste pendant 1 H avant de partir !!)

je te propose les fonctions suivantes en fonction de t ( temps )
f(t) ( t réel de 1à 7) = distance parcourue pendant l'heure précedente.. et donc avec
d(t) ( t réel de 0 à 7) =distance parcourue au temps t.

d(t) est tj croissante.. d(0)=0 , d(7)=777
et f(t)=d(t)-d(t-1)
et il faut montrer qu'il existe t1 tel que f(t1)=111

à toi de prolonger.

[invite51d17075]

je me corrige,
on a pas besoin que d soit croissante.

[inviteaf1870ed]

Pour être honnête je trouve que cet exercice est plus délicat qu'il n'en a l'air.

Je procèderais en deux temps, en reprenant la fonction f définie plus haut :

1/ je montrerais qu'il existe nécessairement un t1 tel que f(t1)<111, puis qu'il existe de même un t2 tel que f(t2)>111; les inégalités étant prises au sens large.
2/Je conclurais ensuite avec le TVI

Le truc c'est que l'on n'a pas besoin du TVI pour le 1/, seulement pour l'étape 2.

[invite51d17075]

Pour être honnête je trouve que cet exercice est plus délicat qu'il n'en a l'air.

Je procèderais en deux temps, en reprenant la fonction f définie plus haut :

1/ je montrerais qu'il existe nécessairement un t1 tel que f(t1)<111, puis qu'il existe de même un t2 tel que f(t2)>111; les inégalités étant prises au sens large.
2/Je conclurais ensuite avec le TVI

Le truc c'est que l'on n'a pas besoin du TVI pour le 1/, seulement pour l'étape 2.

je suis d'accord sur la méthode ( c'est ce que j'essayais d'indiquer en séparant d(t) et f(t) ))
( pour la complexité, on est en math du supérieur ).

pour completer un peu le point 1)
un tout petit raisonnement par l'absurde suffit.

[inviteaf1870ed]

Oui moi aussi je passe par un raisonnement par l'absurde pour le 1/, et c'est ce qui ne me satisfait pas trop...j'aurais préféré un raisonnement plus "pur"

[invite51d17075]

tu es exigeant .

on a simplement f(1)+f(2)+...+f(7)= d(7)-d(0)=777
donc il existe au moins un n tel que f(n) >= 111 et un autre tel que f(n)<=111
comme f est continue le TVI s'applique immédiatement

mais si tu trouve plus "pur" et élégant , je suis preneur.

[invite03f2c9c5]

Bonsoir, j’espère ne pas dire de bêtises, ni répéter bêtement ce qui a été écrit plus haut, car je n’ai pas lu les réponses de chacun en détail. Je propose de considérer la fonction , où désigne la distance parcourue après le temps . On veut montrer que s'annule sur l'intervalle . Or, on a (simplifications en cascade)
.
Les , pour entier entre et , ne sont donc pas tous strictement positifs, ni tous strictement négatifs : la fonction change de signe sur , et comme elle est continue (puisque l’est), d'après le théorème des valeurs intermédiaires, elle s’annule…

[invite03f2c9c5]

Bon, lire le fil avant de répondre m’aurait évité un message inutile : il me semble qu’ansset utilise le même raisonnement (à ceci près qu’il n’a pas retranché 111 dans sa définition de ce que je note g).

[invite51d17075]

tu te place entre 0 et 6 et moi entre 1 et 7 ( distance parcourue dans l'heure qui suit versus distance parcourue dans l'heure précédente )
celà revient au même !

[invite51d17075]

quand au -111 , ça ne change rien non plus
puisque je compare ma fonction avec 111 et la tienne avec 0 ( juste une translation )

[invite1d793136]

théorème des accroissements finis:
Soit f une application de l’intervalle dans R vérifiant les conditions suivantes :
(i) f est continue sur ,[a,b]
(ii) f est dérivable sur ]a;b[
Alors il existe c appartient à ]a;b[ tel que f(b)-f(a)= (b-a) f'(c)

ici on a la fonction la distance en fonction du temps. Donc la vitesse.
Elle est continue sur [0;7] dérivable sur ]0;7[ alors il existe c appartenant à ]0;7[ tel que 777- 0= (7-0) f'(c)
d'où f'(c)= 111
Ouais mais là je crois qu'il faut que je revois comment définir ma fonction. Parce que si c'est l'accélération ou la vitesse ce n'est pas possible.
Il faut que 111 représente une distance et là c'est un problème.

[invite51d17075]

essayes peut être nos interventions DSCH et moi !
il faut faire intervenir 2 fonctions , c'est plus facile.
- la distance parcourue jusqu'au temps t
- la distance parcourue pendant 1 heure de temps.

[invite03f2c9c5]

Le théorème des accroissements finis nécessite une hypothèse de régularité plus forte (dérivabilité). En fait, ce type d’exercice est un joli classique sur le théorème des valeurs intermédiaires ; le plus difficile est de trouver la bonne fonction à étudier (ici, la distance parcourue pendant une heure de temps)…

[inviteaf1870ed]

Je préfère la version de DSCH, même si c'est fondamentalement la même idée : la fonction f(x)=d(t+1)-d(t)-111 permet d'éviter le recours à la démo par l'absurde. En effet, on sait que la somme des f(i) est nulle. Si tous les f(i) sont nuls c'est fini. Sinon il y a un f(i) non nul, et donc un f(j) de signe opposé et ensuite trotte trotte mon petit âne...

[invite51d17075]

c'est une forme de raisonnement par l'absurde, aussi.
mais je n'ai rien contre la présentation de DSCH