Dans la revue ‘’les dossiers de la recherche” août 2005, Alain Connes donne un exemple d’une proposition vraie non démontrable.
On prend un nombre ‘’n’’ au hasard, par exemple 9, et on l’écrit en base 2. Ainsi 9=8+1
ou 9= 2*3 +1. On écrit aussi le 3 en base 2 soit 3= 2+1 Donc
9= 2*(2+1) +1.
Le lièvre passe et remplace tous les 2 par des 3. Ainsi 2*(2+1) +1 devient
3*(3+1)+1, soit 81 + 1. Le nombre obtenu est beaucoup plus grand, on a l’impression que le lièvre fait des bonds immenses.
Puis la tortue arrive, et soustrait 1. cela donne donc 81. Le lièvre reviens réécrit le nombre obtenu en base 3 donc 3*(3+1) et remplace tous les 3 par des 4. Cela donne
4*(4+1). La tortue passe et soustrait 1. Le lièvre revient, réécrit le résutat en base 4 et remplace tous les 4 par des 5.
Le résultat étonnant est que quelque soit e nombre n, c’est la tortue qui gagne: bien qu’elle ne fasse que soustraire 1 chaque fois. au bout d’un nombre fini d’étapes on obtient zéro...
quelqu’un peut m’expliquer? Il me semble que ça tend vers l’infini, non?
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