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proposition vrai non démontrable



  1. #1
    torodan

    proposition vrai non démontrable


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    Dans la revue ‘’les dossiers de la recherche” août 2005, Alain Connes donne un exemple d’une proposition vraie non démontrable.

    On prend un nombre ‘’n’’ au hasard, par exemple 9, et on l’écrit en base 2. Ainsi 9=8+1
    ou 9= 2*3 +1. On écrit aussi le 3 en base 2 soit 3= 2+1 Donc
    9= 2*(2+1) +1.

    Le lièvre passe et remplace tous les 2 par des 3. Ainsi 2*(2+1) +1 devient
    3*(3+1)+1, soit 81 + 1. Le nombre obtenu est beaucoup plus grand, on a l’impression que le lièvre fait des bonds immenses.
    Puis la tortue arrive, et soustrait 1. cela donne donc 81. Le lièvre reviens réécrit le nombre obtenu en base 3 donc 3*(3+1) et remplace tous les 3 par des 4. Cela donne
    4*(4+1). La tortue passe et soustrait 1. Le lièvre revient, réécrit le résutat en base 4 et remplace tous les 4 par des 5.

    Le résultat étonnant est que quelque soit e nombre n, c’est la tortue qui gagne: bien qu’elle ne fasse que soustraire 1 chaque fois. au bout d’un nombre fini d’étapes on obtient zéro...

    quelqu’un peut m’expliquer? Il me semble que ça tend vers l’infini, non?

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  3. #2
    anonymus

    Re : proposition vrai non démontrable

    Je crois qu'il y a une ptite erreur au départ...

    9 = 8+1 ok.
    9 = 2*3 +1 pas ok

    EDIT: mais tu voulais sûrement dire 2^3
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  4. #3
    martini_bird

    Re : proposition vrai non démontrable

    Salut,

    c'est la suite de Goodstein.
    Aussi surprenant que celà puisse paraître car le calcul des premiers termes laisse penser que la suite diverge vers l'infini, cette suite finit toujours par s'annuler à partir d'un certain rang. Cette propriété n'est pas démontrable dans l'axiomatique de Peano: il faut faire appel si je me souviens bien à une descente de Fermat sur des ordinaux transfinis.

    Cordialement.

  5. #4
    torodan

    Re : proposition vrai non démontrable

    tu as raison, je ne suis pas familier avec la notation sur clavier, j'aurais du écrire 9= 2^3 +1 et le reste pour exprimer une puissance.
    merci!

  6. #5
    torodan

    Re : proposition vrai non démontrable

    Merci pour le lien. je vais poursuivre ma recherche là-dessus.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    torodan

    Re : proposition vrai non démontrable

    merçi, j'ai compris pourquoi ça converge vers zéro.

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