Décomposition en fractions simples

**JuL164** · 29/12/2005, 19h54

Bonjour

Quelqu'un saurait m'expliquer pourquoi la décomposition en fractions simples de

$\frac{1}{P^3(P^2+1)}$

donne

$\frac{A}{P} + \frac{B}{P^2} + \frac{C}{P^3} + \frac{CP+D}{P^2+1}$

et pas

$\frac{A}{P} + \frac{BP+C}{P^2} + \frac{DP^2+EP+F}{P^3} + \frac{GP+H}{P^2+1}$

Plus généralement, quelqu'un aurait un lien expliquant simplement la regle générale ?

Merci

**pat7111** · 29/12/2005, 20h02

Envoyé par JuL164

pourquoi la décomposition en fractions simples de

$\frac{1}{P^3(P^2+1)}$

donne

$\frac{A}{P} + \frac{B}{P^2} + \frac{C}{P^3} + \frac{CP+D}{P^2+1}$

et pas

$\frac{A}{P} + \frac{BP+C}{P^2} + \frac{DP^2+EP+F}{P^3} + \frac{GP+H}{P^2+1}$

Si tu découpes les numérateurs de ta "version", tu pourras simplifier par un $P^i$ et tu retomberas sur la bonne (avec des coeffs différents bien-sûr)

La règle, pour les fractions rationnelles réelles :

Polynome du 2nd deg sans racine dans R au dénominateur $\rightarrow$ polynome du 1er deg au numérateur

Polynome du 1er deg au dénominateur $\rightarrow$ réel au numérateur

**JuL164** · 29/12/2005, 21h30

Merci pat

**Cyp** · 29/12/2005, 23h34

Tu peux aussi le démontrer de façon plus "formelle" c'est à dire que quelle que soit ta fraction tu vas pouvoir la décomposer sous la forme donnée par pat7111 mais c'est long et pas passionnant

Enfin quoi qu'il en soit, quand tu fais la démo tu montres qu'en décomposant sous la "bonne" forme tu obtiens une décomposition unique à l'ordre près ce qui peut être utile ensuite
++ Cyp

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